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前沿拓展：

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“對稱性支配相互作用” 原理的歷史脈絡是：愛因斯坦—外爾—楊振寧

導 讀

2021年9月22日，是楊振寧先生農歷100歲生日，學術界紛紛推出活動或文集祝賀楊振寧百歲誕辰（據李炳安、鄧越凡兩位教授考證，楊振寧先生生日為10月1日，恰巧與國慶、楊振寧發表獲諾貝爾獎之論文的日子相同，而楊振寧先生護照上的生日為9月22日，故《知識分子》和《賽先生》各取一說）。過去幾周，《知識分子》與《賽先生》聯合推出了 “百年風華楊振寧” 系列文章。

本期推送施郁教授特別撰文，按時間順序評介楊振寧先生的32項科學貢獻，對于這些工作的背景、內容、意義和影響依次作簡要介紹和分析，再作進一步的討論。本文關注各個工作之間的關聯，分析楊振寧先生的風格和品味，體現他的科學歷程。作者強調，對于物理學之美的追尋貫穿了楊振寧的科學生涯，特別是，楊-米爾斯理論和“對稱性支配相互作用”原理大大深化了對于自然定律美與真的關系的認識。

本文較早版本收入清華大學的《楊振寧先生百歲華誕文集》。在由清華大學、中國物理學會、香港中文大學主辦，于清華大學舉行的楊振寧先生學術思想研討會上，作者作了演講《物理學的美與真：楊振寧的科學貢獻》。

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目錄

1. 引言

2. 分項評述

3. 影響和引用情況

4. 眼光、堅持、力量

5. 楊-米爾斯理論的后續發展

6. 物理定律的定律

撰文 | 施郁（復旦大學物理學系）

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引 言

2002年在巴黎舉行的國際理論物理大會的最后一個報告中，楊振寧指出， 二十世紀理論物理的主旋律是量子化、對稱性和相位因子 [1]。

楊振寧對三個主旋律都有重要貢獻。而對稱性更是楊振寧本人物理生涯的主旋律，對于物理學之美的追尋貫穿了楊振寧的科學生涯。

1928年， 6歲的楊振寧在海灘撿貝殼，與眾不同地挑選極小卻精致的 [2]。異于常人的獨特的觀察力、品味和風格在他成年后的物理學生涯中不斷表現出來，成就了一位當代最卓越的理論物理學風格大師和物理學基本理論結構設計師 [1,2,3]，正如弗里曼·戴森（Freeman Dyson）1999年所說 [4]：“楊教授是繼愛因斯坦和狄拉克之后，20世紀物理學的卓越風格大師……向費米學到了最多的物理……他是保守的革命者。”

對此，戴森于2015年解讀 [5]：“我強調了楊振寧的3個杰出品質，這些品質通常很難結合在一起。第一，奇特的數學技巧，這使得他能夠解決技術問題。第二，對自然的深刻理解，這使他問重要的問題。第三，社會精神，這使他在中華文明的復興中扮演了重要角色。這三個品質共同將他塑造成他，一位繼往開來的保守革命者。”

楊振寧很重視物理上的風格和品味 [1,2,3]。對于二十世紀的幾位理論物理大師，他用 “深廣” 形容愛因斯坦；用 “笛卡爾式的純粹”（Cartesian purity）形容狄拉克, 稱其工作是 “神來之筆” “秋水文章不染塵”，還用高適的詩 “性靈出萬象，風格超常倫” 描寫狄拉克方程和反粒子理論；又用 “厚實” 和 “穩健有力（Solidity, Strength）” 形容費米；用 “深刻的洞察力”（Deep insight）形容海森堡；用 “威力”（Power）形容泡利。

楊振寧回憶：“我物理上的品味很大程度上形成于1938年到1944年在西南聯大學習的時期。這些年里，我開始欣賞愛因斯坦、狄拉克和費米的工作。他們當然有不同的風格。然而他們都有一種能力，能夠從物理概念、理論結構或者物理現象提煉出基本，然后集中于本質……我不能與海森堡的風格共振。但是這不是說我不能領會到他是一位偉大的物理學家。我一直能領會到。” [4]

楊振寧本人的風格受到愛因斯坦、狄拉克和費米三種風格的影響，也具有 “提煉出基本，集中于本質” 的能力。

我嘗試用4個詞來描繪楊振寧的風格：原創、優雅、功力、物理。

1983年楊振寧出版了《論文選集及評論（Selected Papers with Commentaries）》[3]。2013年，楊振寧又出版了續集《論文選集及評論II（Selected Papers II With Commentaries）》[1]。在1983年文集的序言中，楊振寧引用了唐代詩人杜甫（712-770）的名句：

“文章千古事，得失寸心知。”

這句詩總結了杜甫的創作心態，深得楊振寧喜愛，曾經在自己的詩《贊陳氏級》中化用此句：“造化愛幾何，四力纖維能。千古寸心事，歐高黎嘉陳。” [2] 陳省身發現纖維叢理論中的陳氏級（Chern Class），貢獻極大，十年后楊振寧和米爾斯提出非阿貝爾規范場理論，再十年后楊振寧和吳大峻意識到規范場和纖維叢的對應。

杜甫的這個詩句也用來反映了楊振寧自己的研究心態。正如他在該書2005年再版序言中所說，這本論文選集是一個人在物理學一個很激動人心的時代中的旅程的記錄。事實上，這同時也是20世紀下半葉理論物理被一位關鍵參與者記下的發展史。

戴森評論 [4]：“所選的文章有的重要，有的不重要。有的是專業的，有的是通俗的。每篇文章都是珍品。弗蘭克（楊振寧的非正式英文名字）沒有試圖將盡量多的硬科學塞進這五百頁。他試圖在五百頁中向我們展示一位偉大科學家的精神。他輝煌地成功了。”

“文章千古事，得失寸心知” 也刻于一個黑色立方體的上平面，那是楊振寧90歲時收到的一件生日禮物。立方體的四個垂直平面則分別刻了他對統計力學、凝聚態物理、粒子物理、場論等物理學四個領域的共13項重要貢獻：

（A） 統計力學

A1. 1952 Phase Transition（相變理論）。論文序號：[52a]， [52b]， [52c]。

A2. 1957 Bosons（玻色子多體問題）。論文序號：[57a]，[57b]，[57h]， [57i]， [57q]。

A3. 1967 Yang-Baxter Equation（楊-巴克斯特方程）。論文序號：[67e]。

A4. 1969 Finite Temperature（1維δ函數排斥勢中的玻色子在有限溫度的嚴格解）。論文序號：[69a]。

（B） 凝聚態物理

B1. 1961 Flux Quantization（超導體磁通量子化的理論解釋）。論文序號：[61c]。

B2. 1962 ODLRO（非對角長程序）。論文序號：[62j]。

（C） 粒子物理

C1. 1956 Parity Nonconservation （弱相互作用中宇稱不守恒）。論文序號：[56h]。

C2. 1957 T，C and P （時間反演、電荷共軛和宇稱三種分立對稱性）。論文序號：[57e]。

C3. 1960 Neutrino Experiment （高能中微子實驗的理論探討）。論文序號：[60d]。

C4. 1964 CP Nonconservation （CP不守恒的唯象框架）。論文序號: [64f]。

（D）場論

D1. 1954 Gauge Theory（楊-米爾斯規范理論）。論文序號：[54b]， [54c]。

D2. 1974 Integral Formalism（規范場的積分形式）。論文序號：[74c]。

D3. 1975 Fibre Bundle（規范場與纖維叢的對應）。論文序號: [75c]。

論文序號是楊振寧給自己所有文章編的序號（出版年加上排序字母）。統計力學與凝聚態物理密切相關，場論與粒子物理密切相關，區分有一定的任意性，只是統計力學和場論的理論性和普遍性更強點，而凝聚態物理和粒子物理更針對具體現象。

參照代表朗道10項重要貢獻的 “朗道十誡”，楊振寧的13項重要貢獻或可稱為 “楊振寧13誡” [6]。

我們再按時間順序列出楊振寧的19項其他貢獻：

E1. 1947 Quantized Spacetime（量子時空）。論文序號：[47a]。

E2. 1948 Angular Distribution（角分布）。論文序號：[48a]。

E3. 1949 Weak Interactions（弱相互作用普適性）。論文序號：[49a]。

E4. 1949 Fermi-Yang Model（費米-楊模型）。論文序號：[49b]。

E5. 1950 Selection Rule（π0選擇定則）。論文序號：[50a]。

E6. 1950 Phase Factors of the Parity Operator（宇稱算符相位因子）。論文序號：[50c]。

E7. 1956 G Parity（G宇稱）。論文序號：[56d]。

E8. 1957 Two-Component Theory of Neutrino（中微子二分量理論）。論文序號：[57f]。

E9. 1957 Hyperon（超子衰變）。論文序號：[57o]。

E10. 1960 Intermediate Boson（中間玻色子）。論文序號：[60e]。

E11. 1962ξlimit（ξ極限）。論文序號：[62i]。

E12. 1967 Nonabelian Wu-Yang Monopole（非阿貝爾吳-楊磁單極）。論文序號：[67d]。

E13. 1968 High Energy Scattering（高能散射幾何模型）。論文序號：[68b]，[68c]，[68d]。

E14. 1970 Charge Quantization（電荷量子化）。論文序號：[70a]。

E15. 1976 Monopole Without Strings（無弦磁單極）。論文序號：[76c]，[76d]。

E16. 1977 Self-dual Gauge Fields（自對偶規范場）。論文序號：[77g]。

E17. 1978 SU(2) Monopole in 4D Spherical Space（4維球空間上的SU(2)磁單極）。論文序號：[78a]，[78g]。

E18. 1989 ηpairing（η配對）。論文序號：[89d]。

E19. 1990 SO(4) in Hubbard Model（哈伯德模型的SO(4)對稱性）。論文序號：[90b]。

下面按時間順序，對這32項貢獻簡要評述，其間穿插對楊振寧科學歷程的回顧。然后分析這些工作的影響，并作進一步討論。我們以前對13項重要科學貢獻作過評述 [6]，為完整起見，這里融入部分內容。

分項評述

1947 年的量子時空（E1）

1945年楊振寧去美國留學，希望跟隨費米做實驗論文，或者以量子對稱性開創者維格納（Eugene Wigner）為師，因此進入了費米所在的芝加哥大學。當時費米的實驗室不能接受外國人，因此將楊振寧推薦給理論家特勒（Edward Teller）和實驗家艾立遜（Sam Allison）。

關于芝加哥時期，楊振寧的老同學、1988年諾貝爾獎得主斯坦伯格（Jack Steinberger）曾經回憶：“最令人印象深刻的是楊振寧，戰后，24歲的他從中國來，雖然戰時中國條件有限，他來芝加哥讀研究生時，熟悉所有的現代物理” [7]。又說 “基本上知道我們所有課程的內容” [8,9]。

1947年年初，楊振寧給黃昆寫信，說有點幻滅（disillusioned）[1]。然而就在這一年，他寫了E1這篇短文，在Snyder剛發表的理論中，討論了通過時空彎曲實現時空量子化的平移不變性。這也可歸類為對稱性方面的工作，是他在美國的第一篇文章。

在美國，楊振寧逐步走到物理學前沿，特別是，二十世紀下半葉是粒子物理蓬勃發展的時代，楊振寧和他的同事與粒子物理一同成長。

1948年的角分布（E2）

如果在楊振寧所有的論文和演講中找出一個主導性基調，那就是對稱性。對稱性是物理學之美的一個重要體現，也在粒子物理中扮演重要角色。維格納指出，基本粒子就是龐加萊群（由洛倫茲變換和時空平移組成）的不可約表示。二戰后，物理學家回到基礎研究，粒子物理大發展。對稱性分析是關鍵，而這正是楊振寧所擅長，他逐步成長為理論粒子物理的締造者之一。

楊振寧對粒子物理諸多具體問題的貢獻表現出他對對稱性分析的擅長。他往往能準確利用對稱性，用優雅的方法很快得到結果，并且突出本質和巧妙之處。

群論是關于對稱性的數學。1942年，楊振寧在西南聯大請吳大猷指導學士論文。吳大猷給了他一篇關于群論在分子光譜學的應用的綜述文章 [3]。楊振寧的父親介紹他從狄克森（Leonard Eugene Dickson）的書《現代代數理論》（Modern Algebraic Theory）中學習群論。在芝加哥大學，特勒就是群論用于原子、分子和核物理的專家，楊振寧向他學到很多物理，包括群論的應用。

1947年楊振寧還鉆研了四個課題，其中之一是核物理和粒子物理中的各種角分布 [1]。角分布（E2）論文與之密切相關。這是楊振寧的博士論文工作，基于對轉動對稱和空間反演對稱的分析，得到核反應和核衰變產物的角分布 [3]。其中β衰變的相對論性情形是特勒建議處理的。在特勒建議下，楊振寧以此為博士論文，以特勒為導師，放棄了做實驗的嘗試。1948年，楊振寧獲博士學位，并留校做了一年教員。

1949年的弱相互作用的普適性（E3）

1948年，楊振寧與李政道和羅森布魯斯（M. Rosenbluth）注意到，繆子衰變、繆子被原子核俘獲與β衰變都有相同數量級的作用強度，猜想由同樣的中間場（即后來的中間玻色子）傳遞。這篇半頁紙的文章與其他幾個組的文章一道，將弱相互作用確定為一種基本相互作用 [3]。

這篇文章是李政道和楊振寧的第一篇合作論文。李政道1946年從西南聯大來到芝加哥大學讀博士，導師是費米。

1949年的費米-楊模型（E4）

當時普遍認為介子是基本粒子。但是1949年費米和楊振寧問 “介子是基本粒子嗎”，探討了核子和反核子組成π介子的假設。這具有很重要的歷史意義，相當于發現原子時問原子是否可分。

楊振寧后來評論：“我們并沒有幻想我們的建議與實際一致。事實上，我傾向于將這個工作完全埋藏在筆記本里，不發表。但是費米說，學生解決問題，研究人員提出問題；他覺得我們提出的問題值得發表。我們提出的問題今天（1963年）還沒有解決。” [3] 這是戴森2015年所說的楊振寧問重要問題之一例。

斯坦伯格說：“如果將核子換成夸克，現在還是這個圖像。” [8,9] 這說明基本物理思想是最重要的。因漸近自由而獲得2004年諾貝爾獎的維爾切克（Frank Wilczek）做過跟斯坦伯格精神一致但更詳細的評論，指出費米和楊振寧提出的問題富有成果 [9]。

首先，這個模型堅實地以相對論量子場論為框架（那時量子場論還沒有被普遍接受為粒子物理的框架）。第二，借助于結合能，由重得多的粒子組成輕的粒子是個解放性概念，夸克和膠子組成介子和核子正是沿著這條思路。第三，費米-楊模型對強作用采用與弱作用費米理論類似的形式，期待了強和弱作用機制的深刻類似，這是標準模型的中心特征，而標準模型正巧建立在楊振寧本人的楊-米爾斯理論基礎上。

1950的π0選擇定則（E5）

1949年芝加哥大學的一次討論會上，有人提出π0介子可以衰變為兩個光子。第二天，楊振寧便研究出選擇定則 [3]。

這一年，楊振寧加入普林斯頓高等研究院，將在這里工作17年。

1950的宇稱算符相位因子（E6）

這是楊振寧在普林斯頓的第一個工作，和蒂歐姆諾（J. Tiomno）探討了β衰變等過程中，自旋1/2粒子的宇稱算符的相位因子。次年，在芝加哥的一個會議上，費米專門安排了一段時間來討論這篇文章 [3]。

角分布（E2）、π0（E5）和宇稱算符（E6）這三篇文章初步確立楊振寧在粒子物理對稱性分析上的領先。其中π0文章（E5）最為著名。

1952年的相變理論（A1）

統計力學也是楊振寧的主要研究方向之一，而相變是統計力學的一個中心問題。楊振寧的統計力學旅程始于1942年至1944年在西南聯合大學的碩士論文，導師是清華大學的王竹溪。

在芝加哥，當時沒有教授對相變感興趣，包括相變理論的先驅梅耶（Joseph Mayor）。楊振寧在主攻粒子物理之余，保持對統計力學的興趣。他1947年鉆研的四個課題之二是昂薩格（Lars Onsager）的二維伊辛模型嚴格解，但楊振寧當時沒能理解它的整體思想。伊辛模型是統計力學里最基本卻極重要的模型，但是它在理論物理中的重要性到1960年代才被廣泛認識，這里就有楊振寧的貢獻。

在普林斯頓，1949年11月，楊振寧從同事路丁格（Joaquin Luttinger）處了解到，考夫曼（Bruria Kaufman）簡化了昂薩格的方法。楊振寧開始研究這個問題。1951年1月，他發現可以計算出自發磁化強度 [3]。

1951年秋，李政道也來到這里，后來去了哥倫比亞大學。兩人總共合作了三十多篇文章，包括楊振寧13項重要貢獻中的4.5項。

1952年，楊振寧單獨以及與李政道合作，共發表了三篇有關相變的重要論文。第一篇就是前一年獨自完成的2維伊辛模型自發磁化強度論文，得到了1/8這一臨界指數。這是楊振寧做過的最長的計算，是一個絕對的壯舉。戴森稱其為 “雅可比橢圓函數理論的大師式練習” [10]。在楊振寧建議下，張承修計算了長方形格點，與楊振寧計算的正方形格點的臨界指數都是1/8。這是臨界指數普適性的最早跡象 [3]。

1952年，楊振寧還和李政道合作完成并發表了兩篇關于相變的系列論文，將伊辛模型的研究擴展到格氣模型，并嚴格計算出相圖。兩篇文章同時投稿和發表，發表后引起愛因斯坦的興趣。論文通過解析延拓到逸度的復平面上，巧妙地研究了巨配分函數的解析性質，它的零點的分布決定了狀態方程和相變性質等熱力學性質。熱力學極限下，零點趨向正實軸，代表相變。這兩篇論文澄清了相變本質，消除了梅耶1937年文章之后一直爭論不斷、對于同一相互作用下可存在不同熱力學相的疑惑，即：“氣體分子如何‘知道’它們何時聚集成液體還是固體” [6]。

這兩篇系列論文的高潮是第二篇論文中的單位圓定理，它指出，對于伊辛模型或者與之等效的吸引相互作用的格氣模型，巨配分函數的零點分布于復平面的單位圓上。在統計力學和場論中，這個理論精品就像一個小而精致的貝殼，至今魅力不減。楊振寧本人稱其為 “一個小珍品”。數學物理學家呂埃勒（David Ruelle）以此作為杰出典范，解釋數學定理是如何被猜測和證明的 [11]。

1954年的楊-米爾斯規范理論（D1）

楊振寧1947年在芝加哥大學鉆研的四個課題之三是，泡利的綜述文章中介紹的電磁規范理論。楊振寧對于通過規范（指相位）不變性得到電荷守恒印象深刻，后來才知道這個理論是外爾（Hermann Weyl）創立的。1947年楊振寧曾試圖將它推廣到非阿貝爾規范理論，以便描述粒子間的相互作用，但是沒有成功 [1,3]。當時也有實驗背景。1947 年，π+介子在宇宙線中被發現。所以楊振寧試圖與介子掛鉤。

不變性就是對稱性。諾特（Emmy Noether）定理指出，對稱性對應于守恒量。因此 “對稱” 和 “守恒” 這兩個詞常可以互換。規范不變性是說，在波函數或量子場的相位變換下，物理定律保持不變。相位變換的意思是乘以一個相位因子，這是一個模為1的復數。而且外爾考慮的是局域相位變換，也就是說，相位因子依賴于時空坐標。兩個復數相乘，如果順序顛倒，乘積不變，這叫阿貝爾。非阿貝爾規范理論將單個的復數推廣為矩陣。兩個矩陣相乘，如果順序顛倒，乘積可能改變，因此叫做非阿貝爾。規范對稱性與通常的對稱性有一點不同，它是指對于同一個物理狀態有不同描述，是一種冗余度，而通常的對稱性是指不同狀態之間的關系。

1953年至1954年，楊振寧在布魯克海文實驗室訪問，與米爾斯（Robert Mills）在同一辦公室。楊振寧向米爾斯介紹了推廣規范理論的嘗試。當時，越來越多的粒子被發現。人們考慮各種形式的相互作用。楊振寧覺得，顯然需要一個原理，來寫下相互作用 [1,3]。用戴森2015年的話說，楊振寧問了非常重要的問題：如何用規范原理確定相互作用？

1954年，楊-米爾斯規范理論（即非阿貝爾規范理論）發表。在兩篇短文中，楊振寧和米爾斯將外爾的阿貝爾規范理論推廣到非阿貝爾規范理論。這兩篇短文是：

● C. N. Yang, R. Mills, 同位旋守恒與廣義規范不變, Phys. Rev. 95, 631 (1954)；

● C. N. Yang, R. Mills, 同位旋守恒與同位規范不變, Phys. Rev. 96, 191 (1954)。

這個當時沒有被物理學界看重的理論，通過后來許多學者于1960到1970年代引入的自發對稱破缺與漸進自由的觀念，發展成今天的標準模型。其中，電弱統一理論是U(1)XSU(2)楊-米爾斯理論，量子色動力學是SU(3)楊-米爾斯理論。這被普遍認為是20世紀后半葉粒子物理學和量子場論的總成就，主導了長期以來粒子物理學和量子場論的研究。

楊振寧和米爾斯進行這個推廣的第一個動機清晰表達于他們1954年的第一篇短文 [3]。那是楊振寧在當年在華盛頓召開的美國物理學會四月會議M會場（主持人是戴森）所作報告的摘要，大概在4月1日之前投稿。標題是 “同位旋守恒與廣義規范不變”，摘要寫道：“電荷是電磁場的源。這里的一個重要概念是規范不變性，它緊密相關于(1)電磁場的運動方程，(2)流密度的存在，(3)可能存在的帶電的場與電磁場的相互作用。我們嘗試將這一規范不變性的概念推廣，以用于同位旋守恒。”

因此，楊振寧和米爾斯所做的是將同位旋守恒類比于電荷守恒：既然電荷守恒是阿貝爾規范不變性的后果，那么同位旋守恒也是一種規范不變性的后果，因此將電磁相互作用與阿貝爾規范場之間的緊密關系推廣到一種新的相互作用與非阿貝爾規范場之間的緊密關系。電磁相互作用定律和同位旋守恒都是有實驗基礎的。

另一個動機，正如第二篇短文（論文）的標題和摘要強調的，是將同位旋對稱從與時空無關的整體對稱性推廣到依賴于時空的局域對稱性，從而確定相互作用的形式 [3]。標題是 “同位旋守恒與同位規范不變”，摘要寫道：“……探討了在局域同位旋轉動下的不變性。這導致建立同位旋規范不變性原理，以及b場的存在，它和同位旋的關系同于電磁場與電荷的關系。b場滿足非線性微分方程。b場的量子是自旋1、同位旋1、電荷±e或零的粒子。”

所以楊振寧和米爾斯的思路如下。與局域相位變換聯系的阿貝爾規范不變性表現為電荷守恒，并導致電磁相互作用。外爾發現了這個理論結構，雖然當時電磁相互作用已經是已知的。楊-米爾斯理論將它推廣為與局域同位旋變換聯系的非阿貝爾規范不變性，由此決定新的、待確定的相互作用。

從數學觀點講，這是從描述電磁學的阿貝爾規范理論到非阿貝爾規范理論的推廣。而從物理觀點講，是用此種推廣發展出新的相互作用的基礎規則。也就是說，他們敲開了后來楊振寧所說的 “對稱支配力量”（或者說 “對稱性支配相互作用”）這一原理的大門。這是劃時代的，革命性的。

今天知道，在主宰世界的4種基本相互作用中，引力由愛因斯坦的廣義相對論描述，電磁和弱相互作用統一成電弱相互作用，它和強相互作用都分別由楊-米爾斯理論描述，而描述引力的愛因斯坦的廣義相對論也與楊-米爾斯理論有類似之處。楊振寧稱此為 “對稱支配力量”（或 “對稱性支配相互作用”）[3]。這是最初由愛因斯坦在創立廣義相對論時開啟的原理。楊-米爾斯理論是二十世紀后半葉偉大的物理成就，楊-米爾斯方程與麥克斯韋方程和愛因斯坦方程共同具有極其重要的歷史地位。

楊-米爾斯理論的成功是物理學史上的一場革命。但是楊振寧的出發點并不是要搞革命，而是要在復雜的物理現象背后尋找一個原理，建立一個秩序。這種秩序的建立是楊振寧追求物理美的一個主要表現。作為保守的革命者，他引起的革命是不得已而為之，是建設性的，而非破壞性的。但當革命性的思想確實需要時，他又果斷地采納。雖然最初得到楊-米爾斯規范理論時，楊-米爾斯規范粒子的質量問題不能解決，但物理直覺、理論的美以及對規范對稱性的重視使得楊振寧相信這個理論一定是正確的一步。

1956年的G宇稱（E7）

1955年，反質子發現后，楊振寧和李政道提出G 宇稱的概念，聯合電荷共軛對稱和同位旋對稱，由此確定了強相互作用過程的一些選擇定則 [3]。

1956年的弱相互作用中宇稱不守恒（C1）

1956年，θ-τ之謎是物理學中最重要的難題。θ和τ這兩個粒子在弱相互作用主宰下，分別衰變成2個和3個π介子，而π介子的宇稱是-1，因此θ和τ的宇稱分別是+1和-1。但是θ和τ的質量和壽命完全一樣。當時普遍討論，在θ和τ的衰變中，由于某種特殊原因，宇稱是否可以不守恒。如果宇稱守恒，那么θ和τ就是兩個不一樣的粒子，大自然就需要將它們的質量和壽命微調成完全一樣。這是很奇怪的，很不自然，不美。

楊振寧和李政道從θ-τ之謎這個具體的物理問題走到一個更普遍的問題，將這個難題擴展為弱相互作用的普遍問題，又提出 “宇稱在強相互作用與電磁相互作用中守恒，但在弱相互作用中也許不守恒” 的可能，將弱相互作用主宰的衰變過程獨立出來，然后經具體計算，發現，原來以前并沒有實驗證明在弱相互作用中宇稱是否守恒，他們還指出了好幾類弱相互作用關鍵性實驗，以測試弱相互作用中宇稱是否守恒。

β衰變實驗家吳健雄于1956年夏，決定做他們指出的幾類實驗中的一項關于極化鈷60原子核（60Co）β衰變的實驗（楊振寧后來評論她 “獨具慧眼”）。吳健雄邀請低溫物理學家安布勒（E. Ambler）、海沃德（R. W. Hayward）、霍布斯（D. D. Hoppes）和胡德森（R. P. Hudson）進行合作。次年1月初，她領導的實驗表明，在弱相互作用中，宇稱確實不守恒，引起整個物理學界的巨大震蕩。因為 “對于宇稱定律的透徹分析，導致關于基本粒子的重要發現”（諾貝爾獎頒獎詞），楊振寧和李政道獲得1957年的諾貝爾物理學獎。

回顧歷史，從經典物理以及晶體結構，到量子力學與粒子物理，對稱性分析是物理學中的有力工具。而量子力學的興起使得對稱性在物理學中占據前所未有的重要地位。它將原子光譜中的量子數l和m解釋為轉動算符的本征值。到了1950年代，所有的量子數與對稱操作聯系在一起。宇稱與空間反演或鏡面反射相聯系。因此，宇稱守恒有著直覺上的吸引力，被當作自然的、神圣的，而且在實驗上非常有用，特別是在核物理的實驗分析方面。所以不難理解，在這樣的氣氛下，1956年楊振寧和李政道建議檢驗弱相互作用中宇稱是否守恒的文章受到普遍的異議乃至嘲弄。同樣也不難理解，1957年初實驗結果宣布后，楊振寧和李政道的這一工作當年即被嘉以諾貝爾獎。這個得獎速度創造了諾貝爾獎整個歷史上的記錄，至今未被打破，前無古人，后無來者。

溫伯格（Steven Weinberg）說過：“李政道和楊振寧扭轉了從愛因斯坦開始的物理學家的一個傾向，即對稱性是不言而喻的原理。每個人都感到這一突破帶來的激動。” [12]

1957年的時間反演、電荷共軛和宇稱三種分立對稱性（C2）

質疑弱相互作用中宇稱是否守恒的論文預印本引起歐米（Reinhard Oehme）于1956年8月致信楊振寧，提出弱相互作用中宇稱（P）、電荷共軛（C）、時間反演（T）三個分立對稱性之間的關系的問題。這導致楊振寧、李政道和歐米討論P、C、T各自不守恒之間的關系 [3]。他們1956年接近年底時寫好論文，宇稱不守恒實驗上確定后， 1957年1月7日投稿。此文對1964年所有的關于CP不守恒的理論分析有決定性的影響。

物理定律在某個層面的不對稱在實驗揭示出來后，可以用更全面的對稱來 “挽救”。所以當時人們期待C和P的聯合操作CP下的對稱性。楊振寧1983年評述 [3]：“為什么我們沒有預料到CP違反？原因又是，每個人自然偏向于更多的對稱性。在這個情形下，事實上，也沒有疑難驅使我們考慮CP違反。1964年以前的所有的工作都是將電荷共軛包括進來，重新定義反射操作。” 現在依然認為CPT聯合操作是守恒的。

1957年的中微子二分量理論（E8）

3天以后，1月10日，楊振寧和李政道又將中微子二分量理論投稿。宇稱不守恒意味著，可以用手征性區分中微子和反中微子（自旋總是沿著或逆著運動方向），各自的波函數只有兩個分量。文章詳盡討論了實驗相關問題，簡潔地指出中微子探測的截面應該是原來理論結果的雙倍 [3]。在有實驗證據之前不隨便猜測，而有實驗證據后透徹討論，這種研究風格有費米之風。

1960年，中微子發現者雷納斯（Frederick Reines）和科萬（Clyde Cowan）宣布，截面確實應該比他們最初（1956年）公布的增加一倍 [13]。1979年雷納斯解釋：“當初對于探測器效率估計過大” [14]，在2002年諾貝爾演講中，雷納斯再次重申 “正如我們幾年后從李政道和楊振寧處了解到的，截面應該擴大到兩倍，因為宇稱不守恒及中微子手征性。

1957年的玻色子多體問題（A2）

起源于對液氦超流的興趣，楊振寧在1957年左右與合作者完成了一系列關于稀薄硬球玻色子多體系統的論文。這是物理上受液氦超流驅動、數學上定義完善的模型。

1955年開始，楊振寧和黃克孫、路丁格合作，將贗勢法（最初由費米等人在核物理中發展出來）用到玻色子多體問題。由于一個發散問題，這個工作的兩篇論文遲至1956年10月才投稿[3]。

1956年4至6月，楊振寧和李政道集中研究θ-τ之謎。在寫好相關論文、等待宇稱實驗結果的那段時間，楊振寧和李政道研究玻色子多體問題，用二元碰撞方法，得到了與贗勢法一致的結果，而且通過將最發散的項求和，首先得到了正確的基態能量修正。隨后，又和黃克孫用贗勢法得到同樣的結果以及低激發譜。他們得到的能量修正中最令人驚訝的是著名的平方根修正項，被稱為 “李-黃-楊修正”。但當時無法得到實驗驗證。

由于粒子物理方面的工作壓力，他們寫了二元碰撞計算的簡單總結，12月投稿。1957年1月，在多體理論會議上，楊振寧對這兩個方法作了綜述。3月19日，他們將贗勢法的結果投稿。

在獲得諾貝爾獎之后，楊振寧和李政道有時間回到玻色氣體問題。他們先是將李-黃-楊贗勢法擴展到有限溫度，寫了兩篇文章，然后又寫了5篇文章，通過巨正則系綜和變分方法討論了各種性質 [3]。1960年，在多粒子問題會議上，楊振寧對這些工作做了綜述，其中有一些討論與兩年后的非對角長程序論文相關。

出乎他們的預料，近年來，他們的理論結果，特別是 “李-黃-楊修正”，隨著冷原子物理學的發展而得到了實驗證實。1992年，楊振寧被問到，如何 “選擇10到20年后變得重要的問題”，他回答：“必須尋找與物理現象或者與物理學基本結構直接相關的課題。” [2] 玻色子問題就是他這一方法論的一個很好的例子，而且是40-50年后特別重要。

1957年的超子衰變（E9）

宇稱不守恒確立后，人們紛紛研究其他弱衰變實驗，包括超子衰變為π介子和核子。楊振寧和李政道對此作了分析。他們定義的幾個關鍵參數成為這個領域的標準語言。

1960年的高能中微子實驗的理論探討（C3）

1960年，實驗物理學家施瓦茲（Melvin Schwartz）指出如何通過中微子束得到更多弱相互作用的實驗信息。李政道和楊振寧在理論上探討了高能中微子實驗的重要性 [3]。這是關于中微子實驗的第一個理論分析，引導出后來許多重要研究工作。

斯坦伯格與萊德曼（Leon Lederman）及施瓦茲因為中微子束方法和μ中微子的發現而共同獲得1988年諾貝爾物理學獎。斯坦伯格指出：“這種實驗的物理意義在李政道和楊振寧的論文中被列表討論，這個文章被證明是預知未來的……當中微子束和探測器越來越有力后,這些過程成為多年深入實驗的課題。” [9]

在這篇文章中，楊振寧和李政道也討論了傳遞弱相互作用的中間玻色子，并命名為后來被廣泛采用的W±。

1960年的中間玻色子（E10）

1957年4月的羅切斯特會議上，楊振寧曾經評論 [3]：“如果β衰變相互作用是矢量相互作用而不是標量相互作用，人們應問一個問題，這是否與一些矢量場有關。而這些矢量場產生于局域守恒定律的概念。”這是歷史上第一次提出弱相互作用的中間矢量場可能是規范場。后來有更多人這么猜測。

但是楊振寧和李政道并不喜歡猜測性的工作，而是采取更踏實的策略，集中于中間玻色子的唯象和邏輯分析 [3]。他們考慮實驗事實的限制，對中間玻色子場作了若干理論探討。他們另外還與合作者馬克斯坦（P. Markstein）作了中微子束產生W粒子的截面計算。

1961年的超導體磁通量子化的理論解釋（B1）

1961年夏，楊振寧訪問斯坦福大學 [3]。在那里，費爾班克（William Fairbank）和戴佛（Bascom Deaver）在實驗上發現超導環中磁通量以hc/2e為單位的量子化。費爾班克疑惑，這是不是因為電磁場有超越麥克斯韋理論的新規律。楊振寧和伯厄斯（Nina Byers）給出了這一現象的理論解釋，證明電子配對即可導致觀測到的現象，而無需引入新的關于電磁場的基本原理，并糾正了倫敦（Fritz London）和昂薩格的推理錯誤。證明過程中，他們將規范變換技巧運用于凝聚態系統中。這也是楊振寧與實驗家互動的一個例子。

1962年的ξ極限（E11）

這篇文章也是楊振寧和李政道關于W粒子的唯象和邏輯研究，是關于它們與電磁場的相互作用。為了處理一個發散問題，楊振寧發明了叫做ξ極限的方法 [3]。這個方法后來也被用在規范理論中。

這篇文章是兩人最后一篇合作論文。1999年諾貝爾獎得主韋爾特曼（Martinus Veltman）說 [15]：“他們剛開始系統研究矢量玻色子（弱相互作用的W和Z），無法知道他們在發展標準模型上可以走多遠。”

1962年的非對角長程序（B2）

楊振寧的玻色氣工作引導他考慮密度矩陣的結構，磁通量子化工作引導他考慮超導理論的涵義，這些問題最終統一起來。1962年，楊振寧提出非對角長程序的概念，統一刻畫超流和超導（或稱量子凝聚）的本質，同時也深入探討了磁通量子化的根源。這是當代凝聚態物理的一個關鍵概念。楊振寧后來指出，此文是 “我一直所喜愛的文章，雖然意猶未盡。” [3]

2006年，因為氦3超流的理論工作而分享2003年諾貝爾物理學獎的萊格特（Anthony Leggett）出版了一本關于各種量子凝聚的專著，該書的序言包含以下說明：“我從一開始就采納由楊振寧首先闡明的觀點，即應該簡單地考慮在對所有粒子的行為平均之下單粒子或者粒子對的行為，用術語說，就是單粒子或兩粒子密度矩陣。” [16]

1964年的CP不守恒的唯象框架（C4）

1964年，克里斯滕森（James Christenson）、克羅寧（James Cronin）、菲奇（Val Fitch）和特萊（René Turlay）的實驗發現了弱相互作用中CP不守恒。后來克羅寧和菲奇因此獲得1980年的諾貝爾物理學獎。

1957年宇稱（P）不守恒發現后，人們猜測CP守恒，沒有想到CP也不守恒。1964年CP不守恒的實驗發現引發了很多理論文章。其中有眾多亂猜其根源的理論文章。楊振寧和吳大峻沒有理會那些脫離實際的理論猜測，而作了CP不守恒的唯象分析，集中于未來實驗的仔細分析，建立了后來分析此類現象的唯象框架。這反映了楊振寧腳踏實地的作風，顯示出費米的影響。

克羅寧1993年指出：“在1964年的所有這些理論文章中，只有兩篇今天還被引用。其中之一是吳大峻和楊振寧的題為‘K介子衰變的CP守恒的破壞的唯象分析’的文章……在過去的29年中是實驗的指導。” [10]

與三種分立對稱性（C2）論文一道，此文定義了使用至今的理論框架和術語。斯坦伯格回憶，正是吳-楊文章啟發他去測量中性K介子衰變的主要參數 [9]。

1967年的非阿貝爾吳-楊磁單極（E12）

楊振寧認為不應當馬虎地將規范場變成唯象的東西，因為牽強嘗試破壞了規范不變性 [3]。因此1955年到1967年之間，雖然楊振寧時不時回到規范場問題，但是沒有就此發表任何論文。

1960年代后期，楊振寧重返規范場。本文是他1955年之后的第一篇規范場論文，是和吳大峻獲得的經典純楊-米爾斯理論的第一個解。他們的策略是先尋找無奇點的解，再通過微擾尋找激發。這個方案與對稱破缺的思想有類似 [3]。

1967年的楊-巴克斯特方程（A3）

1947年在芝加哥，楊振寧鉆研的四個課題之四是貝特（Hans Bethe）1931年關于1維鐵磁體的波函數的一個假定，關鍵是自旋波沒有衍射。1951年，楊振寧研究2維伊辛模型時，又仔細鉆研了貝特的方法。

1962年，楊振寧完成非對角長程序工作之后，尋找具有這種長程序的模型。這個尋找將他引導到量子統計模型的嚴格解，并重燃他對貝特假定的興趣。他研讀了利布（E. H. Lieb）和林內格（W. Liniger）用貝特假定研究1維δ函數排斥勢中玻色子的工作。

1964年至1966年，他和楊振平研究格氣模型里的相變及其量子推廣。然后研究與之等效的各向異性海森堡鏈，用了貝特假定，并如此命名，就此發表了一系列論文 [3]。在此期間，楊振寧離開普林斯頓，加入紐約州立大學石溪分校，創辦了一所理論物理研究所。

1967年，楊振寧發現1維δ函數排斥勢中的費米子量子多體問題可以轉化為一個矩陣方程。這個方程后來被稱為楊-巴克斯特方程，因為1972年巴克斯特（Rodney Baxter）在另一個問題中也發現這個方程。同一年，楊振寧還寫了一篇于次年發表的文章，進一步探討了此問題的S矩陣。后來人們研究了很多可解模型的S矩陣。

后來人們發現楊-巴克斯特方程在數學和物理中都是極重要的方程，與扭結理論、辮子群、霍普夫代數乃至弦理論都有密切的關系，因而它成為一個重要領域。

另一方面，楊振寧當年討論的1維費米子問題近年來在冷原子的實驗研究中顯得非常重要，提供了分析許多1維實驗的基礎。而他在文中發明的嵌套貝特假設方法次年被利布和伍法岳用來解出了1維哈伯德（Hubbard）模型。

1968年的高能散射幾何模型（E13）

1965年開始，楊振寧與合作者（吳大峻、伯厄斯、鄒祖德、Benecke、閻愛德等）對高能強子碰撞作了一系列研究，將強子看成一個延展物，發展了一個唯象幾何模型，解釋了很多現象，提出許多被普遍使用的概念[3]。我們選擇1968年與鄒祖德合作的這篇文章作為代表。

1969年的一維δ函數排斥勢中的玻色子在有限溫度的嚴格解（A4）

1969年，楊振寧和楊振平將1維δ函數排斥勢中的玻色子問題推進到有限溫度。這是歷史上首次得到的有相互作用的量子統計模型在有限溫度（T>0）的嚴格解。近年來，這個模型及其結果也在冷原子系統中得到實驗實現和驗證。

1970年的電荷量子化（E14）

楊振寧1970年寫過一篇1頁的文章，證明了規范群的緊致導致了所有的電荷必須是某個基本單位的整數倍。這篇文章很特別，短而深刻。因為拓撲相變和拓撲物質相而獲得2016年諾貝爾獎的索利斯（David Thouless）在他的《非相對論物理中的拓撲量子數》（Topological Quantum Numbers in Nonrelativistic Physics）一書中介紹了楊振寧的這個論證。

楊振寧沒有研究過生物物理，不過問過一個重要問題。1971年楊振寧給著名的20卷叢書《相變與臨界現象》（Domb和Green編，1971-2001）的第一卷寫序，最后一段提到統計力學與腦功能的關系 [3]： “今后幾十年的一個重大智力挑戰是腦組織的問題。記憶存儲的基本機制是什么？什么過程實現體內基本上化學的過程與大腦的很特定、非統計的操作之間的聯系？最重要的，人腦如何實現概念的形成？我疑惑，是不是這些研究中的物理學精神與感動‘熱力學的合理基礎’奠基者的并不相似。”

在這個方向上，Little的文章發表于1974年，Hopfield的文章發表于1982年。

1974年的規范場積分形式（D2）

楊-米爾斯理論還把物理與數學的關系推進到一個新的水準。1967到1968年，楊振寧注意到規范場場強與黎曼幾何中的黎曼張量之間的類似，意識到規范場有深刻的幾何意義 [3]。于是他致力于研究規范場的積分形式，發現了不可積相位因子的重要性，1974年成文發表。

此文在1954年推廣規范理論的兩個動機之后，給出了第三個動機或者方法：將不可積相位因子推廣為不可積李群元素。

1975年的規范場—纖維叢對應（D3）

1970年代早期，楊振寧認識到規范場的幾何意義，也意識到規范場的積分形式實際上是一個幾何的發展。因此他向賽蒙斯（James Simons）學習纖維叢理論 [3]。

1975年，楊振寧和吳大峻最終意識到物理學家所謂的規范對應于數學家所謂的主坐標叢，而物理學家所謂的勢對應于數學家所謂的主纖維叢上的聯絡，規范場具有整體的幾何涵義，可以自然地用纖維叢概念表述。

他們發表了論文《不可積相位因子的概念與規范場的整體形式》（D3），用不可積相位因子的概念給出了電磁學以及楊-米爾斯理論的整體描述，討論了阿哈羅諾夫-玻姆（Aharonov-Bohm，簡稱AB）效應和磁單極問題，揭示了規范場在幾何上對應于纖維叢上的聯絡。

這篇文章里面有一個 “字典”，把物理學中規范場論的基本概念準確地 “翻譯” 成數學中纖維叢理論的基本概念，包括一個與規范場論中的源相對應的問號，代表當時數學上還沒研究。這個字典引起數學界的廣泛興趣，大大促進了數學與物理學以后幾十年的成功合作。

這篇文章還包含了用不可積相位因子的概念重新研究狄拉克磁單極。用兩個有重疊的區域組成磁單極外的空間，每個區域有矢量勢，在重疊區域，兩個矢量勢只能相差一個梯度，因為磁場強度是唯一確定的。由此得到兩個波函數之間的關系。而波函數的單值性就給出狄拉克量子化條件。這解決了有幾十年歷史的奇異弦困難，揭示了拓撲和物理的深刻聯系。文獻中有時將其稱作阿貝爾吳-楊磁單極。

出于對AB效應的濃厚興趣和深刻理解，楊振寧還建議外村彰用超導環驗證AB效應，實驗1986年成功，通過電子全息術測量了AB相位 [1]。

1976年的無弦磁單極（E15）

楊振寧和吳大峻進一步用纖維叢的概念討論狄拉克磁單極問題，揭示狄拉克磁單極背后的非平庸叢的真正特性。楊振寧認為這是他最優雅的工作之一，發表了兩篇文章 [3]。

第一篇文章指出，不可積相位因子文章里面提出的兩個有重疊的區域的波函數就是數學上的截面，這個方法消除了奇異弦。然后詳細計算分析了角動量算符的本征截面，由磁單極球諧函數（比通常的球諧函數多一個刻畫截面的量子數）描寫。

第二篇文章給出一個多值的經典拉格朗日量。不需要奇異弦，解釋了狄拉克關于經典作用量的結論，即可以加減4πeg/c，導致狄拉克量子化條件。

1977年的自對偶楊-米爾斯場（E16）

對于無源規范場，楊振寧討論了SU(2)規范場（即楊-米爾斯場）的自對偶條件，得到一個類似拉普拉斯方程的方程。這后來被稱為楊方程，被證明是4維可積系統，并被發現與楊-巴克斯特方程有關。自對偶解，即瞬子解，于1975年由Belavin，Polyakov，chwarz，Tyupkin（BPST）首先得到。

1978年的4維球空間上的SU(2)磁單極（E17）

1978年，楊振寧將狄拉克磁單極推廣到5維平直空間或者4維球空間的SU(2)規范場，它具有SO(5)對稱性。這是4維平直空間的BPST瞬子解在4維球空間的共形映射。同年他還進一步計算了它的磁單極球諧函數 [8,9]。

1989年的η配對（E18）

楊振寧1960年代就開始尋找本征態具有非對角長程序的費米子模型。1986年高溫超導發現以后，2維哈伯德模型成為這個領域的一個重要模型。1989年，楊振寧終于通過η配對機制，在哈伯德模型里找到很多具有非對角長程序的本征態。η配對是總波數為π的電子之間配對（傳統配對的總波數為0）。

1990年的哈伯德模型的SO(4)對稱性（E19）

在η配對基礎上，楊振寧和張首晟很快發現了哈伯德模型的SO(4)對稱性，由與η配對相關的SU(2)對稱性以及自旋SU(2)對稱性構成，因此與超導性和磁性都相關。在此基礎上，張首晟發現一個集體模，后來又發展出高溫超導的SO(5)理論，將超導性與磁性統一起來。張首晟稱之為 “對稱性支配相圖” [4]。

影響和引用情況

從影響力和引用情況上說，以上列出的32項工作主要可以分為八類。為有助于分析，我們參考 了Web of Science 數據庫（截至2021年8月12日。此數據庫范圍有限，也存在收錄遺漏，特別是早期數據。僅作參考）。

第一類是特殊型，屬于此類的是楊-米爾斯理論（D1）。 原文已發表多年，成為標準知識，絕大多數研究不再引用原文，反襯其重要性，就好比關于相對論的文章一般不引用愛因斯坦的原文。在Web of Science文章主題中搜索 “Yang Mills” 得到20931篇文章，是原文引用數的十幾倍，在標題中搜索 “Yang Mills”，得到6016篇文章；在文章主題和標題中搜索 “non abelian gauge”（非阿貝爾規范），分別得到7224篇和959篇文章；在文章主題和標題中搜索 “nonabelian gauge”，分別得到5290篇和137篇文章。

很少有人知道第一篇短文（會議報告摘要）的存在。第二篇論文被1992篇文章引用（圖1）。在1979年的最高峰之前，每年引用呈增加趨勢，特別是1960年代初和1970年代中期有跳躍式增加，然后原文引用下降，1990年代以來又持續穩定增加。

圖1 1954年楊-米爾斯理論論文的歷年施引文章數，總數為1992。

第二類是不斷上升型。屬于此類的是相變理論（A1）。其重要性沒有在剛發表時立即充分顯示，但是此后不斷彰顯，每年引用數基本保持上升趨勢，漲落很小，直到現在。圖2顯示，三篇文章被引情況非常類似，在1960年代有一個跳躍，然后一直保持增長。通常而言，論文發表若干年后，被引用數開始呈下降趨勢。這個 “反常” 的共同形態反映了統計力學的發展情況和持續性，以及這三篇相變論文的重要地位。

圖2 1952年三篇相變論文（按發表順序排列）的歷年施引文章數，總數分別是875、1503和1535。

第三類是波浪上升型。屬于此類的有楊-巴克斯特方程（A3）和有限溫度（A4）（圖3）。A3被1775篇文章引用， 1980年代有一個峰，1990年代有一個更大的峰，2000年以來穩定增長。A4被 1052篇文章引用， 在1970年代、1980年代、1990年代以及本世紀，都有越來越高的峰值。

與第二類相比，第三類的引用存在一些明顯的下降階段，但是不改變其向上的長期趨勢。這說明該領域在冷卻一些時段后有新發展，而且當熱潮再次興起，其持續時間和高度都超過以往。

圖3 1967年楊-巴克斯特方程論文（A3）和1969年有限溫度下一維玻色子論文（A4）的歷年施引文章數，總引用數分別為1775和1052次。

第四類是衰減復興型。屬于此類的有：宇稱（C1），TCP（C2），玻色子（A2），磁通量子化（B1），非對角長程序（B2），角分布（E2），費米-楊模型（E4），π0選擇定則（E5），超子衰變（E9）。這類工作發表后立即有其他研究者跟隨，體現于發表后緊隨的引用峰。然后有個衰減階段。但是后來因為新的發展，引用又開始增加。

獲諾貝爾獎的C1很快為實驗所證實，引用出現極高峰（圖4）。這是歷史里程碑式的工作，問題解決后，成為本領域的核心知識，原文的引用自然出現衰減。但是1990年代以來，引用又增加起來，C2亦類似，不過都沒有超過當初的高峰。

圖4 質疑弱相互作用中宇稱是否守恒的論文（C1）的歷年施引文章數，總數為1640。

而A2、B1、B2復興后的影響和引用都遠超當初，因為后來的相關實驗和理論工作遠多于當初，理論也越發顯得重要。例如，A2研究的玻色氣在當初沒有完全對應的實驗，后來冷原子新領域帶來大量后續研究。四篇文章都是這種類型，特別是李-黃-楊修正文章，近年來增長勢頭強勁，并不斷創造新高（圖5）。

圖5 李-黃-楊修正論文（A2）的歷年施引文章數，引用總數為897。

磁通量子化（B1）論文發表不久后有個被引高峰，而在1990年代有個大得多的峰，從此保持高原狀態，表明很多年后這個領域取得了很大進展。

圖6 伯厄斯與楊振寧1961年的超導體磁通量子化論文（B1）的歷年施引文章數，總數為817。

非對角長程序（B2）論文在1968年左右有一個引用峰值，1980年代后出現了高原（圖7），表明近年來關于量子凝聚現象的研究很多。

圖7 非對角長程序（B2）論文的歷年施引文章數，總數為1106。

π0選擇定則（E5）的引用復興尤為突出（圖8）。在1950年代引用較多，這是很自然的。有趣的是，從1970年代開始，引用呈現遞增趨勢。本世紀以來，每年都有很多引用，甚至遠超以前，出現了引用高原。

圖8 π0介子衰變為兩個光子的選擇定則文章的歷年施引文章數，總數為749。

第五類是恒強型。屬于此類的有：規范場—纖維叢對應（D3），無弦磁單極（E15）。

D3和E15的第一篇文章發表后立即產生重大影響，引發熱潮。很多年來引用趨勢基本沒有衰減（圖8）。這是因為這些工作發現了豐富的礦藏，物理學家和數學家能從中不斷挖掘出新結果。

圖9 楊振寧和吳大峻1975年規范場—纖維叢對應論文（D3）以及1976年第一篇無弦磁單極論文（E15）的歷年施引文章數，總數分別為1128和683。

第六類是波浪型。屬于此類的有：η配對（E19）。隨著相關領域的情況變化，引用數有峰有谷。E19在1997年達到高峰（圖10），然后下降，目前正在攀登第二個峰。相對而言，此文發表時間距今還不長。

圖10 楊振寧1990年關于哈伯德模型中η配對的文章的歷年施引文章數，總數為459。

第七類叫沉睡蘇醒型。屬于此類的有：量子化時空（E1），SU(2)磁單極（E17）。發表后一直引用極少，但是在多年后，年引用數開始逐年增加。從沉睡時間和蘇醒幅度來說，最突出的是E1。1990年代之前，引用很少。但是1990年代開始，特別是本世紀以來，因為非對易幾何的興起，引用大大增多（圖11）。

圖11 楊振寧1947年量子化時空的短文（E1）的歷年施引文章數，總數為322。

第八類是衰減型。屬于此類的有：C3，C4，D2，E6，E7，E8，E10，E11，E13，E16。D2和E16屬于開辟新領域，其他則都是粒子物理唯象工作，與實驗密切聯系，有很強的時效性。大多數工作已經成為重要的標準知識，進入教科書，很多人不再引用原文。

E3 和E14引用較少，因為討論基本問題，很快成為標準知識。E12發表在特勒60歲祝壽文集，很多人不引用原文，而E19發表于一個新雜志，作為支持。二者在Web of Science均沒有引用信息，但在Google Scholar分別有80和近千個引用。顯然哈伯德模型的SO(4)對稱性（E19）影響極大。

迄今為止，13項重要貢獻總共被14766篇文章引用17364次，19項其他貢獻中的17項（除E12和E19）被 5863篇文章引用 6356次，198篇文章（幾乎所有被Web of Science收錄的文章）總共被24539篇文章引用32103次。圖12顯示了歷年引用數。可以看到，13項重要貢獻和所有文章的總引用趨勢非常一致，說明確實是突出代表。更可以看到，楊振寧很多研究成果具有強大的生命力，說明他眼光非常深遠。

圖12 楊振寧的13項重要貢獻、17項其他貢獻以及198篇文章的歷年引用數。

眼光、堅持、力量

楊振寧是二十世紀后半葉理論物理大師，具有極其鮮明獨特的研究風格和品味。他曾經總結自己工作的三個要素 [2]：眼光（perception）、堅持（persistence）、力量（power）。

楊振寧粒子物理唯象工作的特點可以小結如下。楊振寧和合作者腳踏實地，運用對稱原理，立足實驗分析，提出未來實驗方向，而不隨便猜測，體現了費米的影響。例如，和李政道提出中微子二分量理論時，在有實驗證據之前不隨便猜測，而有了實驗證據后透徹討論；和吳大峻分析CP不守恒時，沒有理會脫離實際的理論猜測，而作了CP不守恒的唯象分析，集中于未來實驗的仔細分析，建立了分析此類現象的唯象框架。這些工作與實驗密切聯系，引領了本領域發展，大多成為標準知識，進入教科書，人們一般不引用原文了。因為科研新發展，部分文章近年來引用又開始明顯增加。

楊振寧統計力學（含多體和凝聚態理論）工作的特點可以小結如下。楊振寧和合作者對扎根于物理現實的普遍模型嚴格求解與分析，從而漂亮地抓住問題的本質和精髓。這方面工作與物理現象、場論和數學都有深刻聯系，對稱性也起了重要作用。大多數工作具有極長的生命力，原文引用不斷創新高。

無論是場論與粒子物理，還是統計力學與凝聚態物理，楊振寧的研究工作都體現了他對物理學理論的美的追尋，一方面與實驗事實緊密相關，一方面又注重物理學的基本結構和理論形式的優美。這種追求和特征貫穿了他的整個研究生涯。從學生時代直到現在，楊振寧總是有獨立的思想、想法和直覺，做研究不趕時髦、不隨大流、不落俗套，而是獨立思考，從物理現象和從自己的物理思想出發，作出深刻的發現，展示物理之美。

楊振寧伴隨并深刻影響了二十世紀后半葉物理學的發展。他有些工作的重要性因為得到實驗支持很快被承認，很多粒子物理唯象工作屬于這種情況，最著名的例子是關于弱相互作用中宇稱不守恒的工作；而有些工作的重要性經過很多年以后才被其他物理學家接受，成為相關領域的奠基石，最著名的例子就是楊-米爾斯理論；也有些工作的重要性是越來越多地逐步顯示出來，統計力學中很多工作都是如此，包括相變理論和楊-巴克斯特方程。因為醉心于自己的追求，楊振寧會把一時還不能完善或尚未顯示出重要性的想法放在一邊，等待時機成熟。他將論文選進《選集》時，也不單純以物理重要性為標準。正所謂 “文章千古事，得失寸心知”。

1954年，楊振寧和米爾斯從物理結構出發提出楊-米爾斯理論時，雖然知道這是一個極美的理論，但當時并沒有意識到它如此重要，更不了解規范場的幾何意義。楊振寧是物理學家，不是數學家，是從物理現象歸納基本理論，而這些基本理論的結構需要用數學表達。在追尋物理理論的美的過程中，他扎根于物理現實。但他又具有高超的數學能力，能夠欣賞數學之美。

在楊振寧的13項重要貢獻中，三分之二以上是關于物理現象與代數或幾何的對稱性之間的關系，包括楊-米爾斯理論。在另外列出的19項貢獻中，情況也是類似。統計力學很多工作中，對稱性也起了重要作用。這表明了在楊振寧的思考中，對稱性占據中心地位。1999年，在石溪的一次學術會議上，楊振寧被稱為 “對稱之王（Lord of Symmetry）” [6]。

楊振寧著重追尋 “物” 之 “理”，設計物理學的基本理論結構，但他又深刻地認識到實驗現象是物理學之根本，十分關注新的實驗發現，富有成效地同實驗物理學家互動，對物理學各個領域保持興趣，包括一些看似較 “小” 但反映了物理學精神的問題，比如超導環磁通量子化和AB效應實驗驗證，從中提煉出美妙的物理，而對一些研究 “大” 問題但猜測性太強的領域不感興趣。這些特征顯然是受到費米的影響。楊振寧從費米那里學到，物理從近距離開始才能得到大的規律，抽象化應在具體工作之后，應該將大部分時間用于簡單的實際問題 [2]。

1970年代后，凝聚態物理的實驗新發現層出不窮，而高能物理的進步則倚賴于加速器的發展，因此他對凝聚態物理和加速器物理這兩個領域特別關注，并鼓勵青年人進入這些領域 [2,4,16]。

楊振寧的風格和品味中很多成分出自多年前埋下的 “小的種子”（seedling）[6]。他對對稱性的愛好與他天生的氣質和幼時的經歷不無關系，又與本科生階段的學習密切相關。而統計力學的研究則起源于碩士論文。在很多工作中表現出的數學能力和對數學美的欣賞，與少年時期對數學的接觸分不開。受費米的影響，楊振寧又對很多領域保持興趣。

楊-米爾斯理論的后續發展

1954年楊-米爾斯理論的原始論文最后一段寫道：“在電動力學中，人們認為，電荷守恒要求光子質量消失。對于b場（即楊-米爾斯規范場），沒有相應的論證，雖然同位旋守恒成立。因此我們對于b量子（即楊-米爾斯規范粒子）不能做出任何結論。” [3]

這段話頗有預見性。后來發現，楊-米爾斯規范粒子的質量確實可能不為零，也可能為零。對稱性自發破缺在保持物理定律的對稱性前提下，允許現象的對稱破缺，這導致弱相互作用的規范粒子質量。而描述強相互作用的量子色動力學中，規范對稱沒有破缺，規范粒子膠子的質量確實為零，但是夸克和膠子被禁閉著。

對于對稱性自發破缺機制，楊振寧曾經評論道 [2]：“自發破缺的觀念既解決了規范粒子的質量問題，又沒有破壞對稱精神。”

標準模型的建立是多位理論物理學家努力的成果，他們因此獲得諾貝爾獎。下面摘錄一些諾貝爾演講。

1979 年諾貝爾獎是關于建立在楊-米爾斯理論基礎上的電弱統一理論。

格拉肖（Sheldon Glashow）說：“今天我們有個被稱作基本粒子物理學的‘標準理論’，其中強、弱和電磁相互作用都從局域對稱原理給出……這個概念在1954年被用到非阿貝爾局域對稱群。”

溫伯格說：“更復雜的群的推廣是1954年楊和米爾斯一篇重要文章中做出，他們展示了怎樣構造一個強相互作用的SU(2)規范理論……我們目前關于基本粒子相互作用的細節性理論可以作為對稱原理和對付無窮大的可重正化原理的后果。”

1999年諾貝爾獎是關于楊-米爾斯理論的可重正性。

韋爾特曼說：“楊-米爾斯理論大概是對于重正化來說最好的理論……從探究楊-米爾斯理論中的費曼圖開始，我確定了很多發散的消失。”

特·胡夫特（Gerard ‘t Hooft）說：“我計算了場論的標度性質，我嘗試的第一個理論是楊-米爾斯理論……量子色動力學是一種規范群SU(3)的楊-米爾斯理論。” 特·胡夫特也發現了漸近自由，但是沒有發表。

2004年諾貝爾獎是關于楊-米爾斯理論的漸近自由。

格羅斯（David Gross）說：“特·胡夫特關于楊-米爾斯理論可重正性的杰出工作將非阿貝爾規范理論重新介紹到業內……我們判斷可以計算楊-米爾斯理論的β函數……”

維爾切克說：“我們發現展示漸近自由的理論叫做非阿貝爾規范理論，或者楊-米爾斯理論（楊和米爾斯，1954）。”

戴森對楊-米爾斯理論作過很多評論 [4,5]：

● “非阿貝爾規范場的發現打下新的知識結構基礎，這個知識結構的建造花費了30年。現代理論描述，又被現代實驗證實，物質的狀態是非阿貝爾規范場的湯，這些規范場由楊振寧45年前發現的數學對稱性聚集在一起。”

●“楊振寧占據了外爾的位置，成為我這一代物理學家的領頭鳥……楊振寧還畫龍點睛地指出，愛因斯坦引力理論符合同一個框架……非阿貝爾規范場生成非平庸的李代數，場之間的相互作用形式被唯一地確定下來，因此對稱性支配相互作用。這個想法是楊振寧對物理學最大的貢獻。”

●“楊-米爾斯規范場是狄拉克方程之后，理論物理最重要的發現。”

楊-米爾斯理論也帶來一系列數學進展：

● 阿蒂亞（M. Atiyah）研究了瞬子解分類，與希欽（N. Hitchin）和辛格（I. Singer）計算了瞬子模空間的維數。

● 烏倫貝克（K. Uhlenbeck）將楊-米爾斯方程表示成橢圓系統，導致一系列結果（ 2019 阿貝爾獎成果一部分）。

● 陶布思（C. Taubes）研究瞬子模空間邊界和自對偶4 維流形的粘結。

● 唐納森（S. Donaldson）在前面三人工作基礎上，用瞬子模空間研究4維微分流形拓撲，得到唐納森定理。結合Freedman定理，說明存在一種4維可微流形，與4維歐幾里得空間拓撲等價卻不微分等價（1986菲爾茲獎）。

● 威騰（E. Witten）用超對稱楊-米爾斯理論研究低維拓撲等數學問題。

阿蒂亞說：“1977年以后我的興趣轉向規范理論以及幾何與物理的相互作用……辛格告訴我楊-米爾斯方程，通過楊振寧的影響，它正在向數學圈滲透。” [17]

烏倫貝克說：“楊-米爾斯方程正等著被發現。但是數學家不能自己創造它們。規范場論是個領養的孩子。物理學家楊和米爾斯于1954年寫下他們的方程。” [18]

楊振寧開啟了物理與數學前沿兩個匯合點，大大促進了數學與物理學以后的成功合作：

● 楊-米爾斯理論

● 楊-巴克斯特方程

有多位菲爾茲獎獲獎工作與楊-巴克斯特方程或楊-米爾斯理論有密切的關系，這兩者之間的深刻聯系也越來越多地被揭示出來。

楊振寧感懷：“我的大多數物理同事對數學采取實用主義的態度。也許因為我父親的影響，我對數學有更多的欣賞。我欣賞數學家的價值判斷，我崇尚數學的美和力量：既有戰術操縱上的機智和復雜，也有戰略行動上的激動人心的掃蕩。而且，當然，奇跡中的奇跡，數學中一些概念竟提供了主宰物理宇宙的基本結構！” [3]

物理定律的定律

1979年，在紀念愛因斯坦百年壽辰的演講中，楊振寧總結了 “對稱支配力量”（或者 “對稱性支配相互作用”）總原理 [3]。

楊振寧梳理，在愛因斯坦提出的狹義相對論基礎上，閔可夫斯基最早發現了對稱性原理：物理定律必須滿足在洛倫茲變換下的不變性。廣義相對論基于洛倫茲不變性到廣義坐標不變性的推廣。

愛因斯坦從廣義坐標不變性決定了引力場方程，確定了未知的引力定律。因此，愛因斯坦通過廣義相對論開啟了 “對稱性支配相互作用” 這個原理。

外爾最初試圖推廣廣義相對論，統一引力和電磁力。后來他將規范變換修改為量子力學中的相位變換，從阿貝爾規范不變性確定了電磁定律，雖然當時電磁定律已經是已知的。

楊-米爾斯理論提出時，是作為外爾的電磁規范理論的推廣，從非阿貝爾規范不變性確定未知的新的相互作用定律。

所以，4種基本相互作用都由對稱性決定。引力由廣義相對論描述，其它3種力直接主宰物質微觀結構，由楊-米爾斯理論描述。楊-米爾斯理論是二十世紀理論物理三個主旋律交融和變奏的高潮。

特·胡夫特說: “規范理論成為基本粒子理論的中樞概念，并被期待在更基本的理論構造中扮演同樣必要的角色，以提供普適物理定律的包容一切的圖像。” [19]

因此，今天可以清楚地看到：(1) “對稱性支配相互作用” 這個論斷簡潔地抓住了過去半個世紀理論物理主要的概念性進展， (2) 這個論斷將繼續為理論物理的進步提供一般性指導。

我稱之為物理定律的定律（Law of laws）。

“對稱性支配相互作用” 使得主宰世界的基本規律別無選擇，成為必然，可以被確定，消除了任意性。也就是說，在深層次的規律上，美就是真，真就是美，美支配真，通過美確定真。當然，要通過實驗檢驗。這是人類思想史上極其深刻的一筆。可謂是大美至真！

格羅斯說：“對稱性支配相互作用而楊振寧支配對稱性。” [10]

楊振寧曾經回顧1954年的價值判斷：“（A）規范不變性的美和力量，以及（B）規范玻色子的質量問題。對于米爾斯和我來說，中心動機來自（A），正如我們的短摘要所表明的。至于（B），米爾斯和我探討了各種可能性，在我們1954年的文章最后總結道：‘因此我們沒有得到關于b 量子的質量的任何結論。’也就是說，我們將（B）當作未來的問題。”

楊-米爾斯理論非常美，然而提出時，規范粒子質量問題沒有解決，沒有直接的實驗支持。但是從非阿貝爾規范不變性得到相互作用，是楊-米爾斯理論的核心思想，是美和力量，是正確的。規范粒子質量問題后來得到了解決。粒子物理標準模型的成功證實了楊振寧基于美的眼光、判斷和勇氣。這是物理學歷史的幸運。

談到歷史，我們可以從哥白尼的日心說得到教益。哥白尼日心說的核心思想是，所有行星繞日運動。由此自然地解釋了托勒密地心說中很多奇怪的規定。這是一個大美。

哥白尼日心說的優點在于美，但是它并不比托勒密的地心說更符合觀測。它甚至也借用托勒密的方法，如偏心和本輪。日心說在對觀測符合上的優勢，要等到伽利略基于望遠鏡的發現。而基于正圓的理論缺陷，要等到開普勒的橢圓軌道來消除。

然而哥白尼日心說的核心思想是正確的，其他問題后來解決。我們還可以看到，圓對稱（甚至擴大為球對稱）轉移到深層次的牛頓引力定律，而軌道形狀由于自發對稱破缺而成為橢圓。這在細節上也與楊-米爾斯理論有類似。

500年前的哥白尼日心說，今天依然重要，核心思想的重要性和正確性更清楚。可以期待，楊-米爾斯理論500年后也將重要，核心思想的重要性和正確性也會更清楚。

“對稱性支配相互作用” 原理的歷史脈絡是：

愛因斯坦—外爾—楊振寧

這三位關鍵人物與戴森曾同時是普林斯頓高等研究院的同事，雖然楊振寧沒有與愛因斯坦和外爾討論過這個問題 [1,2,3]。楊-米爾斯理論完美詮釋了研究院院徽（圖13）所表達的美與真的理念。那是研究院創辦者弗萊科斯納（Abraham Flexner）從濟慈（John Keats）的詩受到的影響：

美即是真，真即是美

（Beauty is truth, truth beauty）

圖13 普林斯頓高等研究院的院徽

參考文獻：

[1] Yang C N. Selected Papers Ⅱ With Commentaries. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2013

[2] 楊振寧(著). 張奠宙(編). 楊振寧文集. 上海: 華東師范大學出版社，1998。

[3] Yang C N. Selected Papers 1945—1980 With Commentary. W. H. Freeman and Company Publishers, 1983; 2005 Edition, World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2005

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[5] Dyson F. Birds and Frogs (Selected Papers, 1990–2014) (World Scientific, Singapore, 2015.

[6] 施郁. 物理學之美：楊振寧的13項重要科學貢獻，物理, 43卷, 1期, 57-62 (2014)，

https://mp.weixin.qq.com/s/V83_cwtPLoLSSkTc4nd8VQ；增補版，http://blog.sciencenet.cn/blog-4395-836721.html， https://mp.weixin.qq.com/s/EobbROa-rsMEvEfn6bTv0g，收入《諾貝爾獎得主與名人在新加坡南洋理工大學講演與訪談》，2016；Beauty and Physics: 13 important contributions of Chen Ning Yang, Int. J. Mod. Phys. A 29, No. 17, 1475001 (2014)；Brief overview of C. N. Yang’s 13 important contributions to physics, Int. J. Mod. Phys. A 30, No. 36, 1530069(2015)。

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拓展知識：