前沿拓展：

作者 | 阿蒂亞(Sir Michael Francis Atiyah)

來源 |《數學與物理最前沿》

邁克爾·阿蒂亞爵士（Sir Michael Francis Atiyah，1929年4月22日~2019年1月11日），英國數學家，畢業于劍橋大學三一學院，前英國皇家學會會長，被譽為20世紀最偉大的數學家之一。

邁克爾·阿蒂亞出生于英國倫敦，童年時代在中東地區度過，1945年跟隨家人移居英國，之后以前三名的成績考入劍橋大學三一學院。1955年獲得博士學位，畢業后在普林斯頓高等研究院、劍橋大學彭布羅克學院、牛津大學等學術機構研究、任教，并在1962年成為英國皇家學會會員。

邁克爾·阿蒂亞爵士的主要研究領域是幾何，而到20世紀70年代他把重心轉移到數學物理學上。 1960年代他與艾沙道爾·辛格建立合作關系，共同證明了阿蒂亞-辛格指標定理，該定理在數學的一些領域均有重要作用。因此他在1966年榮獲菲爾茲獎，2004年又與艾沙道爾·辛格共同獲得阿貝爾獎。除此之外，邁克爾·阿蒂亞爵士在拓撲、微分方程、數學物理、代數等領域也有杰出成就。1983年，被英國皇室授予下級勛位爵士。1992年，獲得英國功績勛章。

“數學，是發明還是發現?”，這是一個相當富哲學性的題目。這個題目并非專為數學家而設，而是適合更廣泛的讀者。我們真正關心的，是數學與現實世界及其他事情之間的關系。

數學可以說是處于藝術和科學之間的學科，而數學和科學的關系，幾乎人所共知。例如牛頓、麥克斯韋(James Clerk Maxwell)和愛因斯坦所提出的理論，是建基于很堅實的數學基礎之上。反過來，科學家的觀察和理論驗證，又對數學的發展產生很大的影響。然而，數學與藝術之間的關系，便不是那樣顯而易見了。

數學是藝術也是科學

人們認為，藝術和數學是兩碼子事，其實兩者之間是有關聯的。首先，數學是建基于邏輯——嚴密的邏輯思維。在哲學領域里，同樣也十分注重邏輯和思考分析。例如，兩位在不同年代的偉大哲學家，古希臘的柏拉圖和近代的羅素，他們亦為數學家，因為二人的思想都采用大量數學語言，無可置疑，邏輯屬于哲學的一部分。

同時，邏輯也是建構藝術的基礎。

當我們說到某些藝術的項目，如繪畫，便會趣用到很多透視的方法，也即是空間里的三維觀點;透視圓法，亦被視為繪畫藝術發展的一大發現。又例如音樂，音樂使用了音符作為基礎，但當中的和弦其實是一種十分精確和美妙的數學形式，這也表現出藝術和數學的關系。建筑學追求的是建筑物的美，這取決于建筑物本身的比例和規模等;無論是幾何學，或幾何學建筑，都是建筑學中的十分重要的部分。

數學與大量藝術項目之間的關系可謂千絲萬縷。概言之，藝術就是主觀的美。在物理學，對美的追求，是來源于藝術的基本概念。同樣，對美的追求，在數學亦是重要的環節;因此可以說，數學既是藝術，也是科學。

科學和藝術之間的區別，可以這樣加以闡釋——科學家孜孜不倦去鉆研和發現在他眼前的世界，借著科學我們可以發現事物的真相和自然世界的法則，比如科學家發現了高溫超導電性，這個發現就是建基于從觀察中得出的論據。另一方面，藝術則是人類的一種創作。人在思考中，獲得了重要的發現和感悟，這個發現的基礎并非建立在理性思考，而是在感情上。

表面上，藝術和科學是根本上相逆的東西，但事實并非如此。

數學模型來自思維概念

讓我從人類發展的歷史，回溯到數千年前，現實世界和人類之間有什么關聯。什么是現實世界?它意味著什么?當時的人類是如何思考這個世界?我們不理解現實世界，也不理解思維，更不理解它們之間的關系。

這是其中一個重要的哲學問題。當然，哲學問題并不必然有確切的答案。我們能通過提出問題，從中學習獲得智慧，但卻永不能得到一個確切的答案。因此，古今哲學家為了一個哲學問題，而消磨了上千年時間。事實上，人類提出科學理論，是把我們所觀察到的事物，以一個模型或框架去理解、解釋和發展規律。這樣，在某種程度上，科學理論和數學模型十分類似。它們都是人類思維內的概念，我們可將這些概念，加諸在外間所觀察的事物，好以理解它們。

因此，在某程度上，科學有兩個部分，包括外間實驗的數據，以及人類內在思維所得的數學模型，并嘗試把兩者融合起來，得到一個整體的認識。同樣的，藝術也有兩個部分。一、源于藝術家發自內在感受的創作，二、在外在物理上所受到的約束。例如，數學結構和建筑物的透視點都受到來自外在的約束，是藝術家不能置之不理的。

所以，藝術家應用他們的創作，但也是生活在各種已被發現的“框架”之內，所謂“魚在水中，水也在魚中”。在某程度上，藝術和科學都分享著同樣的特性，就是它們在“發現”這些框架，并在這框架之內進行各種創作。

這框架是科學所仗賴的數據，或是我們研究能力所及的范圍。藝術家同樣面對框架，但他們嘗試把自己的意念形象化。理性和感性是科學的基礎，也是藝術的基礎，但大多數人都認為，二者是河水不犯井水，甚至風馬牛不相及。然而，從近年有關人腦的研究，我們知悉了一些令人振奮的成果，它顯示出人腦中理性和感性，彼此相互影響著“你中有我，我中有你”。或許，我們能在將來對這方面知道更多，了解更多。所以，數學是藝術也是科學。

柏拉圖世界是早已存在還是創造出來的?

讓我們嘗試從多種方法去說明這兩個方面。問題在于，數學家所發現的東西，是存在于現實世界中?還是存在于柏拉圖式的理想世界?柏拉圖用他構想的概念來理解數學，例如，他認為圓形可以是完美的。但完美的圓，在現實世界中從不存在，所有我們所畫的圓形，總會帶點棱角。

事實上，完美的圓形只是一種想法。我們現在稱柏拉圖式的世界，確實是一種想法，一個理想世界。在現實世界中，我們見到的圓形，只是柏拉圖理想世界的一種想法、反映和替代。但也有人相信，柏拉圖世界確實存在，在那里，所有偉大的數學想法都能完美地、和諧地共存。然而，現實世界里竟存在著雜亂，于是科學家便以某些方法，把現實世界和想像世界兩者合并。

接下來，大家也許會問:究竟柏拉圖式的世界是否從一開始就存在，只待我們去發現嗎?抑或純粹是人類智慧所創造的?它是一件發明還是一次發現?也就是說，我們發明了柏拉圖式的世界，接著，這個理想世界反映了現實世界。

這是一個已存在了上千年的疑問。這正是一條我們可以辯論，卻會獲得不同答案的問題。一般來說，我們從一些基礎層面的例子去探討這些問題，會比進行抽象層面的哲學討論，會更加有效。因此，我將透過一些簡單的例子，去討論這個問題:數學是一種發明，或是發現?

在進一步討論之前，讓我指出一點。香港是一個以商業為本的城市。許多人們來到大學念書或教書，都難免考慮到金錢和物質的問題。從這方面來說，發明和發現之間的一個主要區別，就是透過發明可以獲得專利權，從中可以賺取金錢，而發現卻不是。例如，馬克士威引進了電磁學理論，如果他發現的公式可以取得專利，恐怕他已經和微軟的蓋茨一樣富有了。但是，你不能為自己所發現的東西取得專利權。人類基因組是近期另一個例子，并且引起了許多爭論，比如說，我們能否為人類基因的發現而取得專利?因為這個題目涉及龐大的利益，所以經常引起廣泛的爭論。因此，這是一項發明還是發現的問題，不純然是一個哲學議題，也引起了強烈的商業回響和爭論。

現在，讓我先以柏拉圖和希臘人的數學概念作為我們討論的一個例子。柏拉圖感興趣的其中一個問題，是著名的“正多面體”，也被稱為“柏拉圖立體”。“正多面體”有 5 個:

正四面體，由4 個三角形組成;

正六面體，即正立方體;

正八面體，即一個雙金字塔;

正十二面體，每一個面皆是正五邊形;

正二十面體，每一個面皆是等邊三角形。

一個正四面體有4個頂點，6 條邊和4個面;

正方體有 8 個頂點，12 條邊和 6 個 面;

正二十面體，有20 個三角形的表面，12 個頂點，和30條邊。同時，它們成雙出現，就是面的數目和頂點的數目，可以互相交替，稱為對偶。首要的問題是，像正二十面體或其他立體的這些物體，究竟是被發現還是被發明出來?

你可以爭論:立方體是一件明顯存在于周圍中的東西，就像方糖一樣;而四面體或許也是這樣。但是，于大自然中找到正二十面體卻十分困難。我不認為它們以任何形式存在，所以，正二十面體看來更加像是一件人類的發明。雖然它的存在歸功于柏拉圖，但我發現事實上在公元前2000年，即4000年前的蘇格蘭，便存在著正二十面體和所有5個正多邊形立體。這比柏拉圖的年代更早出現，至少比柏拉圖早了千年。這些可能是文物的石塊，出現于蘇格蘭還沒發展出高度文明的一個時代里，而當時已經有人研究出如何做出全部五個立體。

球體內接多面體的奧秘

起初，我估計它是個某時某地某些天才做出來的個別例子，但似乎還不止如此，因為那里有數以百計這樣的石塊，遍及整個蘇格蘭。因為某些未知的原因，當時有人發現這些石塊，并對它們愛不釋手，然后更受到整個社會的重視。這是一次十分重要的觀察，迄今為止，在一個沒有已知文字或文明的古代竟然有古人發明這些數學物體，實在令人百思不得其解。當然，我并不知道這是否最遠古的例子。或許在4000年前的中國，也有人曾經發現正二十面體，但至少迄今為止，蘇格蘭仍保持這項記錄。

到了今天，我們發現了當中一些奧秘，這些數字之間存在一些簡單的關系。這些立體的數學關系是歐拉(Leonhard Euler)發現的，被稱為“歐拉公式”。

F+V-E=2:頂點(V)的數目減去邊(E)的數目加上面(F)的數目等于2。

從這五個例子，我們很容易便能得出這個簡單的關系。但歐拉想得更深，他觀察出的規律，不僅能套用到柏拉圖立體上，更能套用到所有球體內接的立體上，所有這些立體的數字之間都能符合這種關系。討論至此，你也許會問，這是一種發現，還是一件發明?我偶能找到更多，但能將這個公式應用得多遠?

結果，它成為數學里一個十分重要的公式。數百年來，這公式有不同的演變，但它仍然是數學中的核心部分。事實上，中國數學家陳省身教授的研究工作，都與這公式有密切關系。如果我們能在自然界中發現這些公式，就能看得見這些事物。如果二十面體是你發明的，你就是發明了這條公式。

這就是有關發現還是發明的討論的第一個例子。

有多少數是上帝的創造?

讓我回溯得更遠。數學中，最原始的是什么?數學是從哪兒開始?也許你會回答:由數和計算開始，1、2、3、4、5.....一堆整數。著名的德國數學家克羅內克(Leopold Kronecker)說:“整數是上帝創造的，其余都是由人所湊成”。人類發現了整數，又制造所有其他的東西。

第一個問題是，0又如何呢?0也是一個整數。在1之前，首先是0。0無疑也是一個重要的整數。它是一件發明，還是一種發現?0早就存在，抑或是我們的發明?我真想說0是一個發明，但事實上這是個很難處理的問題。

然后是十進位的標記法。當我們開始寫下數，就是在組織數。同時，十進位的標記法是在數學中一個十分重要的部分。它當然不是一早就出現的，羅馬人寫了一個復雜的數學系統。在我來香港講學暫住的飯店房間里，書桌上放了一個日歷，上面印著小小的中文數，但這些數我看不懂，對我來說，它們就像羅馬數一樣。但無論如何，十進位的記數法是偉大發展的一步。有時候我會嘗試認為它是一個發明，但是你也許會說數早就存在了，上帝所發明的世界早就如此，只是我們后來才發現它罷了。

再進一步討論下去。數學家對整數又做了些什么?是的，數學家有時會埋首于有趣的事情上，他們并非對所有數都有興趣，卻去深究質數，質數是不能被分解成其他因數的整數。我都知道，6是2乘3的積。但如果將不可分解成因數的數字依次寫出來，它們是2、3、5、7、11、13，可以無窮無盡地寫下去;只是，數學家很難找到一個規則去描寫出它們的全貌。專門研究數論的數學家喜歡質數，因為在分析整數的過程中，你可以將所有整數分解成質數的積。因此，質數可以被當成是整數的構件部分。構件往往具有引人入勝的吸引力，如果想了解某事物的結構，你將要仔細觀察它的構件，從構件揭開它的面紗。原子是物質的構件，所以質數是算術的構件。

2的平方根是個什么樣的數?

那么，長度又如何?長度是數，例如1、2、3、4、5，都是數。長度由數代表，而數又代表了長度單位?假如你拿一把尺子、一條繩或其他，你可標出它的長度。也就是說，長度是在現實世界中，一樣能夠量度的重要東西。當希臘人接觸長度時，他們發現并非每個長度都能以數呈現出來。舉例說，我們以一個單位長度作為一個正方形的邊長，這個正方形的對角線的長度應該是一個數，而根據勾股定理，這條對角線的長度又應該是2的平方根。反過來說，這個數的平方，就是1+1。

2 的平方根這個數存在嗎?迄今為止，所有的數都是整數或者是分數(例如:)。如果2的平方根這個數不是整數，它會是一個分數嗎?很容易就可以證明 2 的平方根又不會是一個分數。

我來給大家做一個論證:我們用兩個整數p、q來組成一個分數，這兩個數可以約分時我們先將它們約分，到最后我們可以假設這兩個數不會都是偶數。假設2的平方根=;，將這個算式平方，可得出，從而得知p是偶數。然后將p設為r的2倍，以2r取代p放回算式中，得出，互相再以2相抵，得出q=2r，從這里看，q是個偶數。這跟我們上面的假設又抵觸了，所以又不能將2的平方根這個數寫成一個分數。

這是數學其中一個最美的邏輯推論，證明出 2的平方根并不是一個有理數。這又會是個什么樣的數呢?這個數存在嗎?可以書寫出來嗎?這是個吊詭。2的平方根作為這個長度的數確實存在，但又不能寫成那樣，于是我們不得不發明一些數來表述這個數，其中一個方法，就是利用十進制，把2的平方根寫成 1.4142135623731....。有些非凡的數學家能不假思索，就可以把這個數的 100 個小數位都寫出來，我就做不到，只能自嘆不如。

實數的發明是一大進步，但這個發明是由量度現實世界的物件而來的，因此我們也得建立一個方法，去處理這問題。

數學家接下來要處理的是負數。數可被稱作正數也可以是負數。比如我們在尺子上，從左至右記下數字，這可稱為正數。若果從反方向，就可稱為負數。好像升降機的上，下，或會計師做的資產負債表一樣。這是現實世界中很重要的東西。所以，負數十分重要。再看深入一些，人類是如何處理負數?如果將-1乘以-1，你會得到+1。也就是說，如果你并非向前走，而是反方向前進，然后再一次倒轉方向，你將回到原來的位置。你可以說，數的發展是基于經驗。有如十進記數法一樣，這些都是我們在量度距離的長度當中發明出來的標記方式，去將數書寫出來;這些經驗和發明，就以某種模式緊扣著。這些都是數學的初階，且讓我們進入更復雜的領域。

虛數是人類的重要發明

虛數的發明讓數學進入了新階段了。按照上文所說的規則，當一個數自乘時，得其平方時，這個數總是個正數。當兩個正數相乘可得正數，而負數也會產生正數:所以沒有任何一個數的平方是負數。算術的規則不允許這樣的數存在，它不具有任何意義。

但是，如果我們非得要把它寫下來，這個數被稱為虛數。數百年來，數學家不斷爭論，這詭秘的東西能否被書寫呈現，并嚴謹地加以應用，到最后又能否應用到現實世界，大家對這些問題存疑。數百年來，這概念都不被接納或被束之高閣。幸而到最后，數學家解決了，并接受了虛數。這是人類的發明，因為它不存在于世間，同時因為人類發現虛數的定律，在數學中很有用處，電子工程師也愿用它，甚至成為量子力學中一個重要的根基。

在某程度上，復數是實數和虛數的結合。所以，-1的平方根雖然沒有在現實環境中明顯地存在，但它仍很微妙地體現于現實存在的一些東西里，也暗藏于狹義相對論中。我可以大膽地說，-1 的平方根可能是人類最偉大的單項知識發明。

這是個很大膽的聲明，有人反對這種說法嗎?大家都同意它不存在，然而，我們能在數學和物理學中，能得到驚人而豐碩的成果。這是一種巨大的成就，也肯定是人類超越性的發現。我們不能看見虛數在周遭出現，但我們接觸和應用它，從中得到巨大的成就。事實上，數學家花了整整 300 年才做出來，它不是單個數學家的發明，而是群策群力創造出來，是人類集體思想的心血，經歷了幾百個寒暑，也難怪當時最偉大的數學家，對此也探索良久，甚至窮一生之力，孜孜不倦為此做出貢獻而無悔。

我們再看數學中一些扣人心弦的故事。數學中，有一些特定的數或常數，被稱為宇宙基本常數，它確實在數學中起了重要的作用。

圓周比率是周期性現象的基本常數

第一個——。所有進過學校的人都會應用過這一個圓形的圓周跟直徑比率的數值。如果你想透過一個公式計算它，你首先要畫一個圓，并且在圓里面內接一個多邊形。你可以增加邊的數目，并量度多邊形的周界，這個多邊形的周界肯定會比圓周小。但是如果我們將多邊形的邊的數量不斷增加，亦即是把這個多邊形的邊長不斷的縮短，所得出這個多邊形的邊長便會越來越接近圓周。如果我們繼續且不斷重復上述步驟，我們所得出的這個圓周與直徑比率的量度結果將會愈來愈接近。希臘人和阿基米德正是由此方法得到很準確的。所以，是很基本的。當然，你也可以認為，這只是個愚笨的幾何學家才會做的事。誰會關心圓周和直徑的比率?但是，事實上是最基本的常數;它在數學和物理學中起了一個舉足輕重的角色。

道理很清楚，因為與一些周期性的現象有關系，即是任何循環和重復的事情，都派上用場。地球和太陽的運動、鐘表上的時間，任何會振動的事物都有周期性的模式，所有那些對周期性現象的描述都會包含基本的常數。會在所有數學和物理學的教科書中的常數出現，它是你能想出的最通用的數。也可以說，它是人類文明其中一塊基石。

指數函數e是計算增長數字的基本常數

另一個幾乎有同等基礎性，但有一點較難理解的是e，指數函數的基數。e約等于2.718，是2和3之間一個實數。這個數的重要性有其基本原因，其一是它跟物種的數目增長有關，包括人、細菌或動物。在任何一代，一個個體被取代成兩個，就好像父母二人共有 4 個后代。如此，它的數量就會倍增，到了下一代又再會倍增，這快速的增長稱為“指數增長”。如果這情況繼續出現，而且沒有人死亡，那么沒多久地球的食物就會耗盡，炎禍立至。事實上，這真的值得人類警惕，因為上個世紀的全球人口幾乎是以指數增長的。所以，我們面對的一大難題，是當人口超越極限后，我們如何維生?世界人口現在已逾60億，而且預計將會達到 90 億，有些甚至預計得更多，怎么辦?

這是人類人口的問題，但是，我們也可以將之套用于小動物、或傳播病害的細菌的問題上，他們可以指數地增長和傳播病害。

這個數學概念也可以在金融世界中應用，而復合利率的計算是基于指數函數的計算方式。假設你有一筆銀行存款，每年結束時，銀行經理給你一個額外的比例，例如x，x可以是5%，或者更慷慨地他給你10%的額外款項。如果他們不是每年給你一次，而是每半年一次，即使是同樣一個按年比率，你都會獲得更多的款項。因為在前半年你已經得到了%的額外款項，下半年的這個%，是基于本金加上半年已取得利息的總和而計算，即是在本金加上半年利息之上得到的利息，這種計算利息的方式稍為復合利率。假如是每季給你計算一次又會是怎樣呢?你將會得到更多。假如是每天給你計算一次呢?你將會得到更加多。假如他們每秒，或每毫秒一次呢?你會否得到更多，變得更富有?

答案是:這是有上限的。你最多可以得到的是。假設x是1，就是說，你有一名十分慷慨的銀行經理，給你百分之百的利息，你最多可以得到多少?答案是，在一年結束時你將會得到本金的2.718倍。假使你在銀行的存款是 100 元，如果銀行給你的年利息是1，按年息計算，你得到的利息是100元。不管復式的計算次數有多大，你所獲得最大可能的額外利息是 71.8 元。

因此，無論大家對錢、人口還是對病菌的增長感興趣，都需要知道指數函數。

上文所述的和e是數學上的兩個基本常數。

最美麗的公式:

在現實世界同樣也有基本常數。當人們(或智靈生物)在行星之間互相通訊，就如美國國家航天局發射火箭到太空，當火箭到達遙遠的某處，可能我們會想傳輸些資訊給其他智慧生物，來證明我們是聰明的。這樣，我們會想放些什么在火箭上而令對方可以了解?其中一樣可放的是某些數字，因為我們相信，遠方的文明也會找到這些常數。所以，我們可以放上e和。但當然我們也可以放物理常數。假如對方是不錯的物理學家，他們可能想計算質子質量和電子質量的比率，或許我們也可以把這些比率放在那些資訊中。但是，數學常數還是比較容易理解的。放一個正二十面體可能也是個好提議，來看看外星人是否知道正二十面體。

事實上，有很多好東西是在語言以外的，獨立于我們所認識的語言。但在一個適合的模式，他們是會懂得這些數學。如果有人問:在數學中，哪一個公式最美麗?我想所有數學家都會同意，就是以下這一個公式。

什么是?很簡單，你可把它代入x+yi，經過運算，答案是-1。這是在數學最奇妙的公式，因為在單一條公式中，包括三個最重要的數字:-1的平方根i、和e。這條令人驚嘆的公式，包含了最基礎的意義。正因如此，它是如此的美妙。同時，我亦視這公式為數學界里，可與文學界最著名的句子媲美——莎士比亞四大悲劇之一的《哈姆雷特》里“to be,or not to be”。句子簡短，但是這十分簡單的句子卻蘊含一個深厚的意義。所以，數學家其實同樣有美的觸覺。數學和藝術相同，兩者依賴于同樣的理念，就是既簡單又深刻。

數學對物理學的非凡貢獻

接著我們轉談幾何學。幾何學曾被歐基里德(Euclid)和其他希臘學者浸淫研究，德國哲學家康德對此也反復思量。事實上，幾何學就是空間，就算我們的腦袋早就決定了空間是怎樣的模樣，但是我們還是用發展出來不同的實驗去鉆研它。

在19世紀時，醉心于歐氏幾何學的人，發現了歐氏幾何以外的幾何學。我們發現有一些空間是不符合歐氏定律的，我們稱之為非歐幾何學。從波爾約(Janos Bolyai)、羅巴切夫斯基(Nikolai IvanovichLobachevsky)、高斯(C.FGauss)等數學家的研究成果得知，這種幾何學在某程度上，類似歐氏幾何學，只不過是空間彎曲了。繼而有德國數學家閔可夫斯基(Hermann Minkowski)，最后愛因斯坦將之用作時空的曲度，作為對重力場的闡釋。這里的萬有引力，是建基于于時空彎曲的想法。然而，當中其實有不只一種幾何學。

幾何學不光牽涉平面，也可有彎曲空間，能夠最終引領愛因斯坦的理論。

我愛引用物理學家維格納(Eugene Wigner)在《數學在自然科學中不合理的有效角色>(TheUnreasonable Effectiveness of Mathematics in NaturalSciences)一文中一句話。他指出:在所有不同的方法中，數學對物理學有著非凡的貢獻。也許你會奇怪，為何這些比較愚蠢的數學家做出來的數學，會由才智之士的物理學家所應用，但事實正是如此。那么，我們可能同時會問一個相關的問題:數學是一個發明或者發現嗎?

如果數學是被發現出來的，它顯然是源于自然世界;如果是人類腦筋所發明的，為什么它運作得如此美好?甚至運行得幾乎完美無瑕?如果你相信神是宇宙的創造者，那就是神造人，他創造宇宙，并且由他建立數學的原理。當人們開始探索世界時，發現自己能以數學來解釋物理學，洞察世界，揭開世界的面紗。

如果你是柏拉圖派，相信柏拉圖，你會認為在物理世界以外還有柏拉圖式概念的世界，而我就是用它來構建物理世界。你也可以是達爾文派，并且說人類頭腦的演變是進化的結果。在現實世界為了生存，人類的頭腦不能不駕馭外間的物理定律。否則:我們就不會被大自然選中，甚至在物競天擇中難逃被淘汰的厄運。這樣，物競天擇就選了符合物理定律的思維。

然而，這種辯解并不能令人信服，但可算是個好的討論起點。近年來令人驚奇的一件事情，是不懂數學在物理學中顯得非常有效，很多從物理學而來的成果，在數學中也顯得非常有效。甚至當數學家和物理學的工作是風馬牛不相及時也是如此，彼此竟可互相啟發、互相增益。從今天的物理理論中，我們可找到十分值得注意的數學發現。這個關系是雙向的，也令人更難以理解。現代物理學超越了愛因斯坦的四維時空，已走向高維時空。

人類認知以外的高維度

如今我們有更高維的幾何學。在一維空間中，我們有一條直線或者一條曲線，有一個參數。在二維空間中，我們有平面或者膜。在三維空間中，我們有空間，很有可能是彎曲了的空間。而在四維空間中，我們有愛因斯坦常用的空間和時間。其他更高的維度呢?5，6，7，8，9，10，11 維又如何?在數學中，數學家可以想出任何他們喜歡的東西。因此，為何不能有五維空間?在三維空間的一個點被指為坐標，在五維空間就可以有，毫無難度，只要將它們放在一起便可。如果你是物理學家，你能將之想像為自由度，即是有多少個運動的方法。1個粒子有3個運動的方法，但當2個粒子獨立地運動，它們共有6個自由度。如果你想要描述2 個粒子的一個容器的狀態，你將要用 6 維空間。所以高維度也占了一席位了。在 19 世紀，數學家開始研究它們，但像之前的虛數一樣，高維度是深奧的，并不那么容易為人接受。當時英國的數學家西爾維斯特(Sylvester)，為高維度撰了個新詞“超乎構想”(inconceivable)。因為他認為，高維超出了人類腦袋所能構想的。

但西爾維斯特也覺得這不是一個問題，因為他相信任何虛構事物，他相信i，認為虛數有超乎構想的維度。遺憾地，這詞沒有流行過，這確實是一個好的詞，但是事情發展得太快了，現在物理學家在接受高維度空間的存在時，我們沒有一個詞能夠表明，它是超出想像的。在現代物理學里，高能物理學中的弦論，提出了我們其實處于高于4 維的空間。這 4維的空間就是時空，但是，這里也同時有其他的維度，這共有10或11維度，即是有原來 4 維空間，和額外的 6 維度。

這些額外的維數在某程度上，可算是細小并且緊緊地彎曲的。除非我們有一個十分強大的放大鏡，否則我們根本就看不見。它就像一條電線一樣，卻有一個額外的尺寸、厚度。除非我們在顯微鏡中細心觀察它，否則只能看見它像一條直的線。想像今天的物理學。我們需要的放大鏡是一臺高能加速器。在研究細小的空間時，我們需要有高的能量。這就是現代的物理學的一個畫面，它有更高的維度。高維度是你不能以平常方式去看，但可在高能量時研究它們。

由于巴布森(Babson)，現在我們有間接的證據去證明這些理論模型，跟實驗結果是一致的。雖然我們不能直接看見較高的維度，但是我們能間接地探索它們，偵測到它們的影響。我們可以往后推論這些維度是真實的存在，因為這跟實驗所得的是一致的。但問題始終是:它們是已存在的，抑或是人類腦袋創造出來，借此讓我們去了解大自然?我們始終要下一個定論，假如它是用來了解大自然，那么，這是數學上正確的事。但無論大自然是否真的如此，或是裝成如此，甚至是我們把它看成如此，統統都不重要，而且這是不能去驗證的想法。也就是說，在實驗室觀察到的，能否奠下一個關于高維的更精細的圖像，這是我們所不知道的。

現在這個問題愈來愈無法回避。今日世界的物理變得更加復雜，而這類高維的、弦論的模型，在近年變得愈來愈精密，所以它影響的數學也愈來愈廣。然而問題是:這世界果真是如此復雜，抑或只是我們從自己的觀點，把它看得如此復雜?例如，我們將要到另一行星，遠方的智靈生物構想的東西，跟我們構想的是否相同?他們會否構想額外的維，又會如何去想像它?所以，這是很難去了解我們所建立的數學模型，會否有真實物理的意義。我在上文簡略地討論過達爾文的推化論及其對人類智慧的構成，我想回到這個問題的討論，因為人類的腦袋，就是進行數學探討的地方，當我們討論柏拉圖的理想空間時，哪里才是理想空間?這其實是在人類的集體智慧之內。這是概念的住處，除此以外，我們再找不到任何地方了。假如你將概念放在紙上，紙上所示的不是概念，只是個圖片，事實上，概念是收在人類的思想中或者更深處。

抽象概念是數學的靈魂

物理學使用數學模型，而數學則建立于人類腦子中。人類的大腦很可能是進化出來的。同時，進化是由物競天擇，當中基于物理學和生物化學而來。所以某程度上，我們會見到一個循環。因為有這些物理定律，人類的大腦成了這個模樣;但人類的大腦利用數學得出物理定律，這倆不斷循環。我們可以提出一問題:我們對大腦的結構有多少認識?這將會是下一世紀的大問題。

運用先進的掃描技術，神經生理學家已經發現了很多和大腦有關的知識。我們發現，大腦里面有化學反應和電路，也掌握了掃描的各個步驟。我們開始對大腦的運作有了個初步的認識，雖然所知不多，但開始知道多一些，當中包括大腦很可能涉及抽象的運算。你可能會認為，大腦處理視覺等具體的資料時，它們組織起來的方法會涉及抽象的訊號，變得有如密碼一樣。但是，這些訊號并非直接反映了某件實體，而是被編成為一些抽象的密碼。事實上，數學也是建基于抽象概念。究竟人類如何獲得這種抽象概念的能力?

數學收集了大量的事物。當發現有一些事物是共有的，就追溯并整理出來，建立出想法和概念，進而加以細心分析。抽象概念就是數學的靈魂。單一個數學概念之所以能應用到現實世界的不同地方，就是因為我們在不同層面對它可以有不同的演繹。與此同時，抽象概念看來在某形態上可以反映大腦的操作，大腦內的回路某程度上有著數學的結構。今天，神經生理學家開始以科學的角度去解答哲學家過往提出的老問題，還有關意念和決策的問題。以往哲學家討論的問題都是循環不息的，沒有確切答案，但現時我們有了個切入點，去了解這些問題。當然，我們得到的也許不是答案，而是產生更多的疑問。

討論到這里，讓我作一個扼要總結。傳統上，意念跟物質是分開處理的。意念，是屬于人內在的;物體，是屬于外在的。我們的問題是，這雙方有什么關聯?物質果真存在嗎?抑或只是一種想像?意念將物體實現出來，抑或體現了其他?這是屬于哲學家的問題。但有一點是很清楚的，數學建基在意念之上，而物理學是研究物體。數學和物理之間的問題，是意念和物體之間的問題的縮小版。然而，數學和物理學的先后關系是怎樣?

可以說，腦子是意念的實體基礎。意念就是從腦子內部結構中，透過未知的方法浮現出來，這使我們的問題變得不扎實。腦子當然由物質組成，它有實際的成分，腦子是數學和物理學被闡明的地方。當我們有數學的理論，或有關于幾何學的概念，它可能以某種形式記在腦內;而腦子是現實世界的一部分，也是其中最重要的核心。哲學家必須把腦子是否由物質所組合，并以某種方式進行思考納入討論，否則他們便無法談論實在細節，也無法確定實在的問題。也許這就是困擾人類幾千年的真正問題所在。

隨著科學和研究的精進，我們未來將會知道更多關于大腦的運作，及它和意念的關系。在某程度上神經生理學的進步，可以令有關數學、物理學和科學的疑問都會變得更加清晰。

都是以“美”作為選擇的準則

在總結時，讓我用另一個方法，去回答有關發現還是發明的疑問。無論是在現實世界或是在理想世界，不論是由意念組成還是由原子組成，都有千千萬萬個可能出現的情況。如果我可用符號的話，我有千千萬萬個不同組合的方法。如果是物質，我可隨意造出不同分量的物質。如果是數學符號，我可以寫出很多方程式，有些方程或許是正確的，有些是錯的。當我們寫下一條理論，或當數學家建立一條理論時，他會從一大堆正確的方程式中提煉出一些方程式。他會選取其中一項去做研究，或者選一項他感興趣的問題去攻關。他的選擇方式和藝術家或作家選字摘句其實沒有兩樣。

假如將猴子放在打字機前，提供足夠的時間，它可以寫下整套莎士比亞的著作。這當然是可能的，但這隨機過程需時很漫長;莎士比亞則是抄了猴子的捷徑，他去“揀選”字詞，從一切自己所知道的文字中，根據一些準則選出美妙的字詞;而數學家也從應該正確的方程中，根據一些準則去選擇方程式。物理學家也用相同的方法做事。他們做出了一切可行的事，然后選擇如何去落實。我們現在使用的那些準則，當然是決定結果的基礎。

在某程度上我想說，數學家和作家的準則就是美。

請注意:當莎士比亞寫作時，他挑選美麗的字詞去撰寫。所謂美的文字，“美”涵蓋了意義、聲音、雅致:包括美的各個方面。數學家選擇研究方程式:也因為它是美的。為什么它們是美?因為有下列這些因素:雅致、簡單、深刻、普遍性。這樣許多事情都與美連上關系，而正是美這個標準，使數學家從眾多方程中作出選擇。同時，美也令數學家做出正確的選擇。人類這種投入和參與，就如發明的過程一樣。發明就是從一切的可能性中選擇你想研究的，一切的可能性就放在眼前。這就是你的發明。

發明就是從零去開始一件新事物。不論在現實世界或理想世界，我們都是從一切可能性中，去找某樣具潛質發展的事物。這就是人類的活動。我們可以從觀念中強調數學、藝術和科學都是人類活動;而人類扮演的角色，是根據我們決定的準則作出選擇。而這美的標準包括，簡單、雅致、意義.....一切一切。科學就是這么一個過程，并成為整個人類知識架構的一部分。我們就是試圖理解外部世界、理解大自然的科學家。

然而，“理解”也是一個深奧的概念。理解是什么意思?如果你細心思考，你將發現你不知道答案。所謂理解，是腦子得到資料后，對資料著手處理，令它可被理解、有條理等等，這一切全都依賴腦子如何運作。腦子如何理解秩序和結構?它實際情況如何?我們不知道。作為數學家，我想希望用自己的腦子解決問題。物理學家使用他們的腦子解決實體世界的事情。但是在這之前，必須要有某些東西在他們的腦袋里先行運作，因此重要的是，要認識到數學和所有事情都是人類活動，都是一種自發自動的過程。有人說:如果你有電腦，你就不再需要數學家。因為它能處理資料和為你做妥一切事情。但是，所有機器都要處理成千上萬的定理，選擇哪一個?最終還是需要人類去選擇材料、組織，以取得進一步的發展。科學也是一樣。

所以，到最后，發明和發現同時出現，發明的部分就是人類的貢獻。

拓展知識：