來源：北京大學(xué)微信公眾號

大年三十

一家人圍坐在一起訴說著團(tuán)圓

除了餐桌上美味的年夜飯

當(dāng)然還少不了精彩的春晚節(jié)目

在今年的春晚里

魔術(shù)師劉謙表演了

一個與紙牌相關(guān)的魔術(shù)

其精妙的設(shè)計帶給觀眾極高的參與感

許多人紛紛拿出家中的撲克牌

跟著劉謙一起“見證奇跡”

全國無數(shù)人都成功地將

手中的撲克牌對上了

然而，眼尖的觀眾發(fā)現(xiàn)

主持人尼格買提·熱合曼

失敗了……

魔術(shù)表演結(jié)束后

北大法學(xué)院校友、春晚主持人撒貝寧

直接戳穿

讓全國網(wǎng)友都知道了

“小尼的撲克牌沒對上。”

相關(guān)話題瞬間爆上熱搜

這個魔術(shù)“奇跡”的背后

有著怎樣的奧秘？

當(dāng)春晚還在進(jìn)行中

北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院

2021級本科生劉明昊、李新宇、殷子縈

2022級本科生王秭如、黃天銘、王美潭

2023級本科生潘浩翔、王偉圣

便在北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院學(xué)生會的

微信公眾號上推出一篇科普文章

從數(shù)學(xué)的角度

帶大家感受這一魔術(shù)的魅力

該文章被新華每日電訊

微信公眾號截圖報道

△參與文章編輯的同學(xué)在新華每日電訊報道后留言

接下來，讓我們一起

深入學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)這個魔術(shù)吧

魔 術(shù) 步 驟

首先，準(zhǔn)備4張撲克牌

跟隨魔術(shù)步驟

來一起“見證奇跡”

步驟1

將準(zhǔn)備好的4張撲克牌

平均撕成兩份

并疊在一起

步驟2

將牌堆頂數(shù)量為

【名字字?jǐn)?shù)】的牌

移至牌堆底

步驟 3

將前三張牌放在牌堆中間

并取出牌堆頂?shù)呐?/p>

放置在一旁

步驟 4

取出牌堆頂?shù)娜舾蓮埮?/p>

插入牌堆中間

此處選擇的牌數(shù)為

南方人取1張，北方人取2張

若不確定是南方人還是北方人取3張

步驟 5

男生扔掉牌堆頂1張

女生扔掉牌堆頂2張

步驟 6

執(zhí)行“見證奇跡的時刻”循環(huán)

每說一個字

就取出牌堆頂一張牌放置在牌堆底

步驟 7

執(zhí)行如下操作↓

從牌堆頂開始

每次先將牌堆頂?shù)囊粡埮品旁谂贫训?/p>

再扔掉牌堆頂?shù)囊粡埮?/p>

重復(fù)以上操作直到只剩一張牌

檢查此牌和放置在一旁的牌是否吻合

若吻合，則魔術(shù)成功

魔 術(shù) 揭 秘

怎么樣，你的撲克牌對上了嗎？

下面，小北將按照步驟順序

一步步為你揭秘背后的邏輯

步驟一

我們令選擇的四張撲克牌分別為1234，將他們分別撕開后，產(chǎn)生了標(biāo)號分別為1234的兩套（半張）撲克牌，疊在一起后形成了從上至下標(biāo)號分別為12341234的撲克牌堆。

步驟二

此時我們可以注意到，無論我們將牌堆頂?shù)亩嗌購埮埔频蕉训祝玫降膿淇伺贫丫幪枺◤纳现料拢┒贾粫幸韵聨追N結(jié)果：

12341234（名字字?jǐn)?shù)被四整除）

23412341（名字字?jǐn)?shù)模四余一）

34123412（名字字?jǐn)?shù)模四余二）

41234123（名字字?jǐn)?shù)模四余三）

觀察以上可能的牌堆，我們可以發(fā)現(xiàn)產(chǎn)生的牌堆都具有以下性質(zhì)：

1. 前四張牌和后四張牌的順序完全一樣

2. 前四張牌和后四張牌分別是1234的一個輪換

步驟三

從這一步開始，我們只考慮當(dāng)前牌堆中排在第四及第八的兩張牌，記為X，其他牌記為0。那么根據(jù)上一步的討論，可以得到當(dāng)前的牌堆形如：

000X000X

將前三張放在牌堆中間后，無論這三張放在什么位置，最終產(chǎn)生的牌堆都將是：

X000000X

于是乎，被選擇的用于配對的牌就將是X，而另一張與之配對的牌（稱為目標(biāo)牌）將位于牌堆底。

步驟四

在上一步之后，牌堆的編號為000000X，于是，無論本輪中選擇牌堆頂多少張牌插入牌堆中，都不會影響目標(biāo)牌的位置，仍然處于牌堆底部。

步驟五

此時男生的牌堆為：00000X

女生的牌堆為：0000X

步驟六

通過嘗試可知，在經(jīng)過步驟六后將得到如下的牌堆：

男生：0000X0

女生：00X00

步驟七

通過上述揭秘

相信大家不難看出

這個魔術(shù)的背后

其實是一個數(shù)學(xué)上的問題

它被稱為約瑟夫問題

約瑟夫問題

設(shè)有編號為1，2，......，n的n個人圍成一個圈，從第1個人開始報數(shù)，報到m時停止報數(shù)，報m的人出圈。再從他的下一個人起重新報數(shù)，報到m時停止報數(shù)，報m的出圈......按照這個規(guī)則進(jìn)行下來，直到所有人全部出圈為止。求最后留下來的人編號。

為了使問題簡化，我們考慮n個人編號為0 ~ n-1的情況，每 m 個人退出一個人，我們稱之為（n, m）問題。

第一個人（即編號為在模n下同余m的人）退出之后，對剩下的 n-1 個人重新編號，則新問題的k號在原問題中對應(yīng) k+m 號。因此（n, m）問題的解 J (n, m) = J (n-1, m)+m 且 J (1, m) = 1（模n意義下）。據(jù)此，通過遞推的方法可以得到 J (n, m)。

在實踐中，約瑟夫問題一般用代碼進(jìn)行求解。劉謙的魔術(shù)中使用的便是 m=2 的特殊情況。

驚 喜 彩 蛋

主持人尼格買提·熱合曼

為什么失敗

一起來看看背后的原因

根據(jù)上面的證明過程，我們不難發(fā)現(xiàn)：在步驟3與步驟4中，如果操作正確，每位主持人手中最底部的一張牌沒有變化，而這恰好是步驟7后留下的一張牌。

然而，在進(jìn)行步驟4時，注意尼格買提的手上動作：

鏡頭捕捉到插入過程中，原本位于底部的牌面花紋被另一張牌覆蓋，也就是說，尼格買提并未按要求將兩張牌放入中間位置，從而導(dǎo)致他最終匹配的失敗。

春晚的魔術(shù)表演

不僅展示了魔術(shù)的神秘

也激發(fā)了我們對數(shù)學(xué)智慧的思考

希望大家盡情享受

魔術(shù)和數(shù)學(xué)帶給大家的快樂

除此之外

生活中仍不乏有許多與數(shù)學(xué)相關(guān)的趣事

來源 | 北京大學(xué)融媒體中心、北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院、新華每日電訊

圖片丨北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院、受訪者提供