下文經(jīng)出版社授權(quán)，摘編自《建筑中的數(shù)學(xué)之旅》（修訂版），[美] 亞力山大·哈恩著，李莉譯，人民郵電出版社2023年10月。

文藝復(fù)興：建筑與人文精神

14世紀(jì)和15世紀(jì)期間，5種主要的政治勢力控制了意大利半島：3個(gè)重要的城邦，即佛羅倫薩、威尼斯和米蘭；以羅馬為中心的梵蒂岡州；那不勒斯王國。在戰(zhàn)火頻仍、聯(lián)盟與邊界時(shí)常變動(dòng)的時(shí)期，像錫耶納、熱那亞和比薩這樣的小城邦的命運(yùn)起伏不定。盡管這樣，制作業(yè)還是在城市和鄉(xiāng)鎮(zhèn)發(fā)展起來，它們的市場逐漸擴(kuò)大，商業(yè)活動(dòng)日益增加。不久商人和銀行家階級(jí)與權(quán)貴共享財(cái)富、土地和影響力。隨著商業(yè)的發(fā)展，對(duì)法律和契約協(xié)議的需要也隨之增長。商人需要知道如何讀、寫和計(jì)算。銀行家需要提供簿記方法、擴(kuò)大靈活的信貸以及評(píng)估抵押品。律師需要進(jìn)行合作及貿(mào)易協(xié)定談判。商業(yè)和官僚政治的活動(dòng)變得更復(fù)雜，日益需要有才干的職員。商業(yè)、金融和法律活動(dòng)的重要性和廣度要求教育多關(guān)注實(shí)踐，少注重理論，提供專業(yè)的技能、突出的能力以及世俗的態(tài)度。

人文主義研究課程初步提供了這種教育。它包括對(duì)古代作品的閱讀，對(duì)語法、法律、修辭、歷史和倫理學(xué)的研究。商人和統(tǒng)治階級(jí)的成員不僅希望得到教會(huì)教義的忠告，還希望得到羅馬的實(shí)踐知識(shí)和希臘的世俗哲學(xué)。在中世紀(jì)，上帝被認(rèn)為是一切創(chuàng)作的源泉，人類活著是為了為他服務(wù)。意大利城邦的公民向古代的智者學(xué)習(xí)，對(duì)他們面臨的挑戰(zhàn)作出響應(yīng)，他們發(fā)現(xiàn)了上帝賦予自身的創(chuàng)作能力以及推理、思考、行動(dòng)、想象和建造的能力。這一認(rèn)識(shí)就是文藝復(fù)興（該詞在法語中意為重生）的黎明：一個(gè)在文學(xué)、繪畫、雕塑和建筑上取得輝煌成就的時(shí)代。兩幅著名的繪畫捕捉到這一新紀(jì)元的推動(dòng)力量。

作為那個(gè)時(shí)代的肖像和壁畫畫家、大藝術(shù)家之一，拉斐爾（1483—1520）的濕壁畫《雅典學(xué)派》（School of Athens）描繪了既富古典主義又具文藝復(fù)習(xí)特征的偉人們?cè)谕粓鼍皟?nèi)交談的情景。在彩圖20中，我們可以看到雪白胡須的柏拉圖在中心拱門下和亞里士多德交談。理想主義的柏拉圖在左邊，手指天空。他按照萊昂納多·達(dá)芬奇（1452—1519）的樣子繪制，達(dá)芬奇是位多才多藝的天才，繪制了《蒙娜麗莎》和《最后的晚餐》，用他的繪畫藝術(shù)給出了對(duì)自然的分析以及他自己所設(shè)計(jì)的機(jī)器的運(yùn)行方式。理性的亞里士多德在柏拉圖的右邊，手向下垂。在他們的下方，半躺在臺(tái)階上的是第歐根尼，他是希臘哲學(xué)家，將極端貧困視為美德。前景處靠在大型白色大理石桌上的是希臘哲學(xué)家赫拉克利特，他以年輕、專注的米開朗基羅的樣子來描繪。米開朗基羅（1475—1564）以其雕塑《大衛(wèi)》、《摩西》和《哀悼基督》，以及在梵蒂岡西斯廷教堂的天花板上的濕壁畫和由他施工的輝煌建筑成為文藝復(fù)興時(shí)期最多才多藝的大藝術(shù)家。在米開朗基羅的左邊，我們看到畢達(dá)哥拉斯正在閱讀一本大書。在右下角，一個(gè)幾何學(xué)家（很可能是歐幾里得，也可能是阿基米德）被繪成偉大的文藝復(fù)興時(shí)期的建筑師布拉曼特（1444—1514）的樣子，他正彎腰演示幾何作圖。他旁邊背過身站著的是克羅迪斯·托勒密，他手里拿著一個(gè)地球儀。拉斐爾還把頭戴黑帽的自己放在這一群人里。他們所處的建筑物最有可能是布拉曼特所設(shè)計(jì)的，那時(shí)剛開始在羅馬建造的新圣彼得巴西利卡。因?yàn)樘熘鹘探虝?huì)的所屬機(jī)構(gòu)曾舉行過基督教信仰和希臘哲學(xué)之間的智力辯論并批準(zhǔn)它們?cè)谔熘鹘躺駥W(xué)內(nèi)部綜合，所以這里是思想家們會(huì)面的恰當(dāng)場所。

拉斐爾的《雅典學(xué)派》（School of Athens），1508~1511，梵蒂岡。本文圖片均來自《建筑中的數(shù)學(xué)之旅》。

米開朗基羅的濕壁畫《創(chuàng)造亞當(dāng)》，如圖5-1所示，描繪了強(qiáng)大的上帝以他的形象創(chuàng)造人類。它描繪了正被注入神圣火花的人類，是對(duì)高貴人性的詩意表達(dá)。拉斐爾和米開朗基羅的繪畫都是新時(shí)代的象征，證明文藝復(fù)興時(shí)期對(duì)知識(shí)的好奇心和深刻的思想在視覺意象中找到了最燦爛的表現(xiàn)形式。

圖5-1 米開朗基羅的《創(chuàng)造亞當(dāng)》（Creation of Adam），西斯廷教堂的一幅場景，1508-1512，梵蒂岡

米開朗基羅的圣彼得大教堂

1514年布拉曼特去世后，拉斐爾成為新的建筑大師。有可能正是布拉曼特構(gòu)想的新圣彼得大教堂被拉斐爾選為他的《雅典學(xué)派》中偉大人物聚會(huì)的場所，見彩圖20。在《藝苑名人傳》（Lives of The Artists）中，16世紀(jì)的畫家、建筑家、歷史學(xué)家和傳記作家喬爾喬·瓦薩里（1511—1574）斷言布拉曼特實(shí)際上設(shè)計(jì)了拉斐爾的濕壁畫中的建筑場景。拉斐爾對(duì)圣彼得大教堂項(xiàng)目幾乎毫無影響。大教堂的工作因西班牙哈普斯堡王朝（忙于和法國進(jìn)行權(quán)力斗爭，爭奪對(duì)意大利城邦的控制）的軍隊(duì)對(duì)羅馬的毀滅性占領(lǐng)以及大型建筑花銷所造成的持續(xù)財(cái)政困難而陷入停滯。對(duì)比藝術(shù)家在16世紀(jì)30年代對(duì)施工現(xiàn)場的素描與布拉曼特已完成的建筑，發(fā)現(xiàn)工程只得到極小進(jìn)展。拉斐爾確實(shí)影響了建筑中的設(shè)計(jì)工作。在對(duì)該建筑的素描中，他給出了底層平面圖、立面圖和截面圖。直到后來這才成為建筑界的標(biāo)準(zhǔn)做法。

安東尼奧·桑加洛（1484—1546）于1534年接管了建筑大師一職。他更多以專業(yè)技術(shù)而非創(chuàng)造能力著稱。在桑加洛的領(lǐng)導(dǎo)下，重要的施工得以恢復(fù)。桑加洛意識(shí)到即使布拉曼特設(shè)計(jì)的更粗壯的主墩柱也還是太不結(jié)實(shí)，他用墻堵住墩柱凹進(jìn)去的部分，對(duì)它們進(jìn)行加固。通過給布拉曼特設(shè)計(jì)的墩柱及連接拱券加上4個(gè)帆拱，他完成了中心結(jié)構(gòu)，之后圣彼得大教堂的鼓座和穹頂將從這里豎起。桑加洛還建造了東部和南部的二層墩柱及把它們與中心結(jié)構(gòu)相連的筒拱頂。他將南部后殿的半圓形墻——這種墻稱為半圓室（hemicycle，在希臘語中，hemi意為“半”，cycle意為“圓”）——砌到一樓樓頂。桑加洛對(duì)圣彼得大教堂的構(gòu)想甚至比布拉曼特設(shè)計(jì)的更恢宏精美。在圖5-32布拉曼特的設(shè)計(jì)之外，新的半圓形區(qū)域內(nèi)要求有禮拜堂和走廊。桑加洛為這些新空間修建的墻壁逐漸蠶食了梵蒂岡的其他建筑。到1546年桑加洛去世之時(shí)，該結(jié)構(gòu)預(yù)期達(dá)到的規(guī)模和復(fù)雜度以及實(shí)際花費(fèi)已完全失去了控制。

教皇要求并不怎么情愿的米開朗基羅來接管教堂的施工。米開朗基羅不能拒絕教皇的要求，但堅(jiān)持要求全權(quán)負(fù)責(zé)該項(xiàng)目。這位新的建筑大師給新圣彼得大教堂的設(shè)計(jì)及施工都帶來了理性。他加固并打穿了布拉曼特設(shè)計(jì)中的墻壁結(jié)構(gòu)，將其內(nèi)部簡化為空曠、連續(xù)的空間。通過去除桑加洛設(shè)計(jì)的外墻，他使光線直接射進(jìn)內(nèi)部的各個(gè)部分。他減小了教堂的尺寸，并且節(jié)省了大量的金錢和施工時(shí)間。米開朗基羅用了幾項(xiàng)巧妙的措施，就替換了圖5-31中布拉曼特的復(fù)雜布局，在桑加洛的宏偉構(gòu)想中占據(jù)了主動(dòng)。米開朗基羅的十字和正方形設(shè)計(jì)富有凝聚力，合乎理性。它能夠?qū)崿F(xiàn)，也應(yīng)該進(jìn)行建造。

圖5-33展示了米開朗基羅的設(shè)計(jì)。陰影、交叉平行線和3個(gè)半圓室的輪廓線被加在平面圖上，用不同的線來區(qū)分施工的建筑師。用淺灰色的交叉平行線畫出的區(qū)域標(biāo)出了布拉曼特用來連接他的主墩柱的帶鑲板的拱券。西側(cè)的后殿和高壇也被繪出輪廓并用淺灰色交叉平行線填充。它們都是15世紀(jì)興建并由布拉曼特完成的。淺灰色單陰影線部分標(biāo)出了桑加洛在穹頂四周添加的拱頂及帆拱。平面圖左邊和右邊的兩條弧指桑加洛開始興建，后來又被米開朗基羅移除的外墻。深灰色交叉平行線和輪廓線標(biāo)出了米開朗基羅的作品。他完成了南側(cè)的半圓室，將北側(cè)的半圓室建到二層高并增加了拱頂。教堂上方鼓座的施工及穹頂?shù)脑O(shè)計(jì)也是米開朗基羅的工作。（除了最東部，穹頂及現(xiàn)存的拱頂都是由米開朗基羅的助手吉阿科莫·德拉·波爾塔在16世紀(jì)80年代和90年代施工完成的。為了與米開朗基羅設(shè)計(jì)的南部的半圓室一致，他還重建了西部后殿的半圓室。）

圖5-33 米開朗基羅為羅馬圣彼得大教堂所做的平面圖，約始于1546年（添加了陰影和交叉平行線）

2.5節(jié)的最后一段指出羅馬人用混凝土建造了許多大型結(jié)構(gòu)。混凝土墻一般用磚貼面以便加固并保護(hù)外表面。中世紀(jì)建筑則用石塊（磚是便宜的替代品），而并不是按羅馬人那樣方便地使用混凝土。布拉曼特在圣彼得大教堂設(shè)計(jì)（見圖5-31）中的墻壁結(jié)構(gòu)有許多凹進(jìn)去和不規(guī)則的地方，這顯然表明他已重新發(fā)現(xiàn)了羅馬人用混凝土的建造方法。混凝土的強(qiáng)度以及很容易塑造成型的優(yōu)點(diǎn)更利于實(shí)現(xiàn)這些復(fù)雜的墻壁結(jié)構(gòu)的施工。圖5-34描繪了米開朗基羅設(shè)計(jì)的南部后殿正面。不只這個(gè)正面是彎曲的（遵循弧形的半圓室曲線），它的壁柱、窗戶和裝飾元素也都位于不同平面上，以不同的角度突出。對(duì)米開朗基羅而言，如果沒有混凝土—磚結(jié)構(gòu)所帶來的靈活性和可塑性（更不用說經(jīng)濟(jì)性），不可能獲得這樣豐富的幾何圖形。

圖5-34米開朗基羅對(duì)圣彼得大教堂南部半圓室外墻的設(shè)計(jì)，上面帶有教皇的批準(zhǔn)印章，由Vincenzo Luchino雕版印刷，1564。選自Henry A. Millon 和Craig Hugh Smyth的“米開朗基羅與圣彼得大教堂I：原先建筑在南半圓室閣樓的規(guī)劃筆記”（Michelangelo and St. Peter's I: Notes on a Plan of the Attic as Originally Built on the South Hemicycle），《伯林頓雜志》（Burlington Magazine），卷111，797期（1769年8月）

從最開始，新圣彼得大教堂的最大特點(diǎn)就是大型穹頂及其支撐鼓座。它也是施工中最具挑戰(zhàn)性的部分。米開朗基羅的理念深受布魯內(nèi)萊斯基圣母百花大教堂穹頂?shù)挠绊憽Ｋ俏ㄒ荒茉谝?guī)模上與之抗衡的原型。米開朗基羅借鑒了它的基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)部分：開有大窗的鼓座、雙層殼構(gòu)架、拱肋以及頂部加蓋采光亭。不過新圣彼得大教堂的穹頂及其鼓座的設(shè)計(jì)細(xì)節(jié)需要變化，要根據(jù)結(jié)構(gòu)整體來進(jìn)行定義。圖5-35是米開朗基羅（或在他的監(jiān)督下其助手）進(jìn)行的研究。注意鼓座外面的雙柱是如何與圖5-34中正面的成對(duì)大型壁柱平行的。米開朗基羅感覺對(duì)垂直正面的大力強(qiáng)調(diào)應(yīng)繼續(xù)進(jìn)行，它向上經(jīng)過鼓座的雙柱，沿穹頂外部彎曲的拱肋，再集中到作品的焦點(diǎn)即采光亭上。米開朗基羅在圣彼得大教堂的設(shè)計(jì)中，將圣母百花大教堂穹頂鼓座和拱肋的8重對(duì)稱加倍到16重，這樣就加大了對(duì)垂直的強(qiáng)調(diào)。穹頂?shù)墓淖?557年興建，圖5-36展示了它在1562年的施工情況。圖中能看到用來保持圓柱形的繩子。1564年，鼓座即將完成之際，米開朗基羅去世，圣彼得大教堂的工作再度中斷。

圖5-35 米開朗基羅設(shè)計(jì)的圣彼得大教堂鼓座和穹頂?shù)慕孛鎴D和立面圖，法國里爾美術(shù)館。繪于約1546~1557年

圖5-36 Giovanni Antonio Dosio，約1562年建設(shè)中的米開朗基羅的鼓座。（這里能看到布拉曼特建來保護(hù)祭壇的結(jié)構(gòu)就在拱頂下面）。選自Charles B. McClendon的“羅馬圣彼得大教堂的建筑歷史”（The History of the Site of St. Peter's Basilica, Rome），Perspecta，卷25，1989

建筑師和雕塑家吉阿科莫·德拉·波爾塔（1533—1602）在1573年接管項(xiàng)目后，工程又繼續(xù)進(jìn)行。德拉·波爾塔參與了羅馬許多重要建筑的工作，成為羅馬16世紀(jì)后半葉的主建筑師。德拉·波爾塔重建了圣彼得大教堂的西側(cè)后殿，并在西側(cè)建了拱頂（見圖5-33）。西斯科特五世成為教皇后，該項(xiàng)工程進(jìn)入高速發(fā)展的時(shí)期。作為教皇中最偉大的建設(shè)者，他批準(zhǔn)了德拉·波爾塔的穹頂設(shè)計(jì)并推動(dòng)它的建造。德拉·波爾塔保留了米開朗基羅設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)，但抬高了穹頂?shù)目v側(cè)面，增加了的穹頂高度使該穹頂更加明顯地凌駕于教堂的主結(jié)構(gòu)之上。比較圖5-35和圖5-37可知，德拉·波爾塔主要通過拉長鼓座并在上面加蓋閣樓來獲得更大的高度，而穹頂本身的高度則只增加一點(diǎn)。內(nèi)殼內(nèi)部的縱向截面圖是由兩條圓弧所確定的尖拱。因?yàn)閮蓚€(gè)圓的圓心（圖5-37中的點(diǎn)P和Q）離得很近，所以這個(gè)截面接近一個(gè)半圓。實(shí)際上，穹頂內(nèi)部高度與穹頂在起拱線處直徑的比值約為0.58。與橫截面為半圓的穹頂高度與底面直徑的比值0.5相比，它超出的并不明顯。（參見問題9）。穹頂外殼的外截面圖也是一個(gè)尖拱，它比內(nèi)殼要略微陡一些。

圖5-37德拉·波爾塔的圣彼得大教堂穹頂?shù)钠拭鎴D，以Hieronymus Frezza出版的木雕為基礎(chǔ)，1696

教皇認(rèn)命建筑師兼工程師多梅尼科·豐塔納（1543—1607）協(xié)助德拉·波爾塔。 穹頂?shù)氖┕な加?588年，在一段時(shí)間內(nèi)，施工現(xiàn)場有600~800人保證工程不間斷地進(jìn)行。閣樓延續(xù)了鼓座的圓柱形狀。16條大型砌筑拱肋從閣樓的頂部向上延伸，它們之間距離相等，并都向內(nèi)彎曲。隨著高度的增加，拱肋越來越細(xì)，而朝著穹頂垂直軸方向的橫向厚度則越來越大，從基部的約1.8米增加到頂部的約4.9米。圖5-38展示了穹頂形狀的變化情況。穹頂?shù)膬?nèi)外殼用磚、石灰塊和灰泥建造，它們都在支撐拱肋之間的16塊曲面內(nèi)，其高度同步增加。它們的水平截面并不是正十六邊形（像布魯內(nèi)萊斯基的穹頂?shù)陌诉呅螜M截面圖所展示的那樣），而是被建成圓形，與鼓座和閣樓的橫截面一樣。內(nèi)殼約為2米厚，外殼約為0.9米厚。3個(gè)鐵環(huán)被砌進(jìn)并圍繞穹頂一周，其中兩個(gè)比閣樓稍高，另一個(gè)稍高于兩個(gè)殼的分離點(diǎn)。這些鐵鏈的橫截面約為6.35×6.35平方厘米，用來限制巨大的向外的側(cè)推力。圖5-37中鐵鏈用虛線表示，記為a、b和c。（圖中的其他鐵鏈?zhǔn)呛芫弥笥衷黾拥摹＃?/p>

圖5-38穹頂結(jié)構(gòu)示意圖，F(xiàn). Nespoli繪

令人難以置信的是，這個(gè)穹頂不到兩年就建成了。木制拱鷹架由從閣樓上方內(nèi)側(cè)墻上的支撐點(diǎn)斜向上伸出的梁所承載，支撐著對(duì)殼的建造。回憶一下，布魯內(nèi)萊斯基在佛羅倫薩豎立穹頂時(shí)，沒有使用拱鷹架。那為什么不遵循這一先例？因?yàn)榈吕げ査浪鸟讽敃?huì)比佛羅倫薩的扁平，而且建造速度將更快。布魯內(nèi)萊斯基的穹頂更陡，這意味著它的殼中連續(xù)的八邊形磚層會(huì)得到其底部已完成結(jié)構(gòu)的更多支撐。他的穹頂歷經(jīng)16年才完工，這就使其在承受大負(fù)載之前，有充足的時(shí)間讓灰泥粘合磚層。德拉·波爾塔決定用拱鷹架結(jié)構(gòu)支撐穹頂不斷增高的殼，從而降低以極快速度建設(shè)扁平穹頂?shù)娘L(fēng)險(xiǎn)。

采光亭花了兩年多建成。1593年年底，球和十字架被放到了最頂端。圖5-39給出了一幅蝕刻版畫，它展示了德拉·波爾塔的穹頂和采光亭雄踞在米開朗基羅設(shè)計(jì)的南側(cè)半圓室的上方。穹頂東邊的建筑群包括舊圣彼得大教堂的遺跡。在圣彼得廣場的中央可以看到一座古埃及的方尖碑。距離穹頂完工僅僅幾年前，人們付出了巨大的努力才將這座方尖碑移到了廣場的中心位置。這座方尖碑的故事會(huì)在討論5.2中講述。

圖5-39 從南面看圣彼得大教堂。《羅馬印象》（View of Rome）細(xì)部，蝕刻版畫，由Antonio Tempesta出版，1593

圣彼得大教堂在接下來的20年內(nèi)竣工，它應(yīng)該是圓形的還是巴西利卡式的問題終于得到了解決。教皇最終批準(zhǔn)了有一個(gè)狹長中殿和寬敞入口的巴西利卡設(shè)計(jì)，而不是布拉曼特和米開朗基羅所構(gòu)想的圓形設(shè)計(jì)。中殿應(yīng)包含一個(gè)帶鑲板的筒拱頂，其形式與穹頂?shù)闹喂叭嗤Ｋ鼞?yīng)被分成3個(gè)隔間，由拱券和墩柱支撐，每邊都向側(cè)廊敞開。東邊的老結(jié)構(gòu)被推翻，1612年，新建筑大師卡羅·馬德諾（1556—1629）完成了中殿和入口區(qū)及其正面的建造。

圖5-40中，科達(dá)齊的繪畫記錄了圣彼得大教堂在完工幾年之后的情況。它用奇特的暗色調(diào)描繪了穹頂及其鼓座，畫中還包含了兩座后來飽受爭議的鐘樓，如今它們已不復(fù)存在。從繪畫中可以看出，馬德諾的正面反映了圖5-34米開朗基羅用南側(cè)半圓室確立的特征。這些特征包括大型科林斯式壁柱、一系列或?qū)捇蛘母糸g、愛奧尼亞式柱圍出的陽臺(tái)、交替出現(xiàn)的三角形和弧形山花以及對(duì)整體布局的垂直表達(dá)。科達(dá)齊的繪畫還表明，馬德諾設(shè)計(jì)的正面的閣樓幾乎完全封閉，只開了很小的矩形窗，這就減緩了正面向上的流動(dòng)。與它相反，米開朗基羅設(shè)計(jì)的南側(cè)半圓室的閣樓的拱形大開口則促進(jìn)了這一流動(dòng)。圣彼得大教堂的外部表面和穹頂表達(dá)了米開朗基羅的構(gòu)想，而巴西利卡狹長的中殿和寬廣的正面則沒有表達(dá)。

圖5-40 維維亞諾·科達(dá)齊，《羅馬圣彼得大教堂》（St. Pater's Rome），約1630年。帆布油畫，普拉多美術(shù)館，馬德里

圣彼得大教堂的建造花了120年。那個(gè)時(shí)代最偉大的建筑師貢獻(xiàn)出他們的聰明才智，使這座新教堂成為今天基督教信仰的輝煌的紀(jì)念碑。布拉曼特設(shè)計(jì)了新教堂的中部核心，米開朗基羅塑造了該結(jié)構(gòu)的主要方面，德拉·波爾塔抬高了它的巨大穹頂，馬德諾延長了它的中殿并賦以巴西利卡外形。還有濟(jì)安·洛倫佐·貝尼尼用巴洛克表達(dá)巴西利卡的內(nèi)部并建造了環(huán)繞圣彼得廣場的柱廊。

作者/亞力山大·哈恩

編輯/李永博

導(dǎo)語校對(duì)/盧茜